$f(x)=-7x^4+25x^2-15x+10$ polinomunun $Q[x]$ ve $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde indirgenemez olup olmadığını araştırınız.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
77 kez görüntülendi
$f(x)=-7x^4+25x^2-15x+10$ polinomunun $Q[x]$ ve $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde indirgenemez olup olmadığını araştırınız.

Tamam bu polinom Eisenstein kriterine uyumlu hatta gosterelim..

$p=5$ asalı için  $5\mid10,-15,25$ ve $5\not\mid -7$ ve $5^2\not\mid10$ olduğundan $f(x)$ polinomu Eisenstein kriterini sağlar..Anlayamadigim nokta $Q[x]$ üzerinde indirgenemezdir diyor sonra diyorki.. ve polinom ilkel(primitif) olduğundan $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde de indirgenemezdir.

Pirimitif polinom; katsayıların obeblerinin $1$ olması yani benim anladıgım çarpanlarına ayrilamayan demek sanırım..Sorum şu polinom ilkel oldugundan $\mathbb{Z}[x]$ uzerinde de indirgenemezdir bunun sebebi benim pirimitif polinom tanımından anladığım sebep yuzundenmi yoksa baska sebebimi var?
25, Nisan, 25 Lisans Matematik kategorisinde Yusuf Kanat (286 puan) tarafından  soruldu
25, Nisan, 25 Yusuf Kanat tarafından düzenlendi

Bu dedigin "Gauss's Lemma" sinin bir sonucu.

Evet $\mathbb{Z}[x]$ üzerinde indirgenemezlik $Q[x]$ uzerinde indirgenemezlige esdegerdir diyor sonuc.. ama neden?

Nedeni Pdf 169. Sayfada var ama kitapta primitif olduğundan diyor neden?

Bendeki kitapta boyle ispatlanmis..image image

Acaba rasyonel sayilar kumesi tam sayilar kumesini kapsadigindan dolayi olabilir mi

Primitif ten kasit monic polinom olabilir yani en yuksek dereceli terimin katsayisi 1 ise monic polinomdur ve bundan dolayi en buyuk ortak bolen otomatikman 1 olur.

Soruda verilen monik polinom degil ama primitif polinom dolayli yoldan soylemis olabilir yani ebobun $1$ olmasi Gauss un lemmasinin katkilariylada $\mathbb{Z}[x]$ indirgenemez oluyor galiba..


1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Eisenstein kriterinden, $f(x)=-7x^4+25x^2-15x+10$ polinomu, $\mathbb{Z}[x]$ de indirgenemezdir (daha küçük dereceli polinomların çarpımı olarak yazılamaz)

   Gauss un Lemmasından, $f(x),\  \mathbb{Q}[x]$ de de indirgenemezdir.

Gauss un Lemması:  "$f(x)\in  \mathbb{Z}[x],\ \mathbb{Q}[x]$ de indirgenebilir ise $f(x),\  \mathbb{Z}[x]$ de indirgenebilirdir" diyor. 

Eşdeğer olarak:

"$f(x)\in  \mathbb{Z}[x]$ olsun. $f(x),\  \mathbb{Z}[x]$ de indirgenemez ise $f(x),\  \mathbb{Q}[x]$ de indirgenemezdir" diyor.

30, Nisan, 30 DoganDonmez (4,097 puan) tarafından  cevaplandı
30, Nisan, 30 Yusuf Kanat tarafından seçilmiş
...