Kompleks serilerinin yakınsaklık yarıçapı ile ilgili bir soru

0 beğenilme 0 beğenilmeme
120 kez görüntülendi

$\sum^{\infty}_{n=0} {a_n} z^n$ serisinin yakınsaklık yarıçapı ${R}$ ve $\sum^{\infty}_{n=0} Re({a_n}) z^n$ serisinin yakınsaklık yarıçapı ${R_1}$ ise ${R_1}\geq {R}$ olduğunu gösteriniz?

2, Nisan, 2 Lisans Matematik kategorisinde HakanErgun (43 puan) tarafından  soruldu
2, Nisan, 2 alpercay tarafından düzenlendi

Ilk serinin yakınsadığı yerlerde, ikinci seri de yakınsar. Soru (az çok) buna denk, değil mi? Bir dizi yakınsaksa, diğerinin de yakınsayacağını söyleyen bir test biliyor musun?

Aslında ben şöyle düşündüm soruyu önce genellemeye baktım ama yapamadım yani şunu biliyoruz limit n sonsuza giderken mutlak değer içinde  $a_n /a_{n+1}$  degeri yakınsaklık yarıçapina esit yani soruda ki R ye 

Terimlerin mutlak değerlerini karşılaştırabiliyor musun?

Mesela hocam  şöyle düşündügüm zaman diyelim burada ki ${a_n}=i^n/n$  olsun sordugum soruma göre ve Bir önceki yorumda belirttiğim teste göre $R_1$ ve $R$ 1 e eşit olur daha farklı ${a_n}$ lerde bulabiliriz kıyaslama yapabiliriz ama bunu keyfi olarak aldigim da matematiksel olarak ispatlayamıyorum 

Doğan hocam sizin dediğinizi yanlış anlamadıysam komplesteki her z elaman için $|Re(z)|$ ${\leq}|z|$  eşitliği olduğundan $|Re({a_n}) z^n|$ ${\leq}$ $|{a_n} z^n|$ olduğunu düşünerek mi terimleri karşılaştırabilir miyiz dediniz?

Evet. Bu eşitsizliğe bir şey daha eklersen olacak

Hocam ben aslında şöyle yaptım bir üstteki yorumda mutlak değer içinde z^n olmazsa ve lim n ssonsuza giderken $|{a_n}/{a_n-1}|$=$1/R$ olduğundan sonra buradan işte bir üstteki ifadenin iki tarafın limitini aldığımız da ${R}{\leq }R_1$ olduğu görülür

O şekilde olmaz. Çünki o limit var olmayabilir. Olsa bile istediğin sonuca nasıl ulaştın?. 

Bir kesrin hem payı hem de paydası azalınca kesrin değerine ne olacağını kestiremeyiz.

Karşılaştırma testi kullanmayı dene.

Evet hocam cok halkısınız limitin varlığını garanti edemem ki karşılaştırma testi tam olarak burada ne işime yarayacak o hocam orayı tam olarak anlayamadım

Karşılaştırma testi için bir eşitsizlik gerekiyor. Bir de serilerden (uygun!) birinin serinin yakınsaklığı gerekiyor Onlar da var.

 Karsilastirma testini biliyorum Hocam  ama şimdi yakınsaklık yarıçapından bahsettiği için seriler zaten yakınsak olmuyor mu ben yanlış mı biliyorum? 

Siz şöyle düşünerek söylüyorsunuz doğan hocam herhalde $|{a_n} z^n|$ yakınsak olduğundan $|Re({a_n}) z^n|$ de yakınsak olur karşılaştırma testi gereğince inşallah yanlış ifade etmiyorumdur hocam

Evet. 

Yalnız  $|{a_n} z^n|$ yerine $\sum |{a_n} z^n|$ ve

$|Re({a_n}) z^n|$ yerine $\sum|Re({a_n}) z^n|$ yazmalısın.

Buradan $R{\leq}$ ${R_1}$ olduğunu nasıl göreceğim hocam Orayı tam olarak anlayamadım 

$|z|<R$ ise $\sum|Re({a_n}) z^n$ serisinin yakınsak olduğunu göstermen yeterli olur mu?

 İnşallah saçmalamıyorumdur Hocam karşılaştırma testi ile yakinsak olduğunu görürüz ve  buraran da ondan sonra |z| < ${R_1}$ oldugunu söyleriz bunlar arasindaki ilişkiye nasıl karar vereceğiz?

Kuvvet serilerinin (reel veya kompleks katsayılı/değişkenli fark etmiyor) yakınsak olduğu küme ilgili bir teorem vardır. 

Onu hatırlıyor musun?

Hatırlamıyorum hocam 

...