$x\neq 1$ olmak üzere $x^4+x^3+x^2+x^2+x+1=0$ ise $\frac{x^{23}-1}{x^2+x+1}=?$

Question

$x=1$ dışında ve $x^4+x^3+x^2+x^2+x+1=0$ ise

$\frac{x^{23}-1}{x^2+x+1}$ neye eşittir

alt tarafı $-(x^4+x^3)$ yapmak dışında aklıma hiçbir şey gelmedi

Comments

Sen bu soruda ne düşündün/denedin Sofsuz?

---

hiçbir şey düşünemedim

---

$x^n-1$ i çarpanlara ayırmayı biliyor musun?

Answer 1

$x^{23}-1=(x-1)(x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+...+x^4+x^3+x^2+x+1)$ olduğundan 

$x^{23}-1=(x-1)(x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{15}(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$+x^{10}(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^5( x^4+x^3+x^2+x+1)+x^4+x^3+x^2+x+1)$ Burada $x^{4}+x^3+x^2+x+1=0$ olduğu kullanılırsa

$x^{23}-1=(x-1)(x^{22}+x^{21}+x^{20})$   olacaktır. 

O halde $\frac{x^{23}-1}{x^2+x+1}=\frac{(x-1)(x^{22}+x^{21}+x^{20})}{x^2+x+1}=\frac{(x-1).x^{20}(x^2+x+1)}{x^2+x+1}=(x-1).x^{20}$

olur.

Comments

$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0$ olduğu için de, $x^5=1$ olur ve $x^{20}=(x^5)^4=1$ olacağı için sonuç $x-1$ e kısaltılabilir.