Karmaşık sayıların mutlak değeri

0 beğenilme 0 beğenilmeme
49 kez görüntülendi

$\forall a,b\in\mathbb{R}$ ve $b\neq0$ olsun. $i$ sanal sayı olmak üzere;

$$|a+bi|$$ ifadesinin değeri neye eşittir yada bir değeri var mıdır?

Okulda öğretmene sorduğumda karmaşık düzlemde $a+bi$ noktasının yerini bulup ($(a,b)$) bu noktanın orijine ($(0,0)$) uzaklığının mutlak değere eşit olduğunu söyledi. Dolayısıyla

$$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$bulunuyor ama ben bunu anlayamadım. Sayı doğrusunun üzerine koymaya yer bulamadığımız hayali dediğimiz bir sayının $0$ sayısına uzaklığını nasıl oluyor da bulabiliyoruz?

11, Mart, 11 Orta Öğretim Matematik kategorisinde emresafa (150 puan) tarafından  soruldu

Evet, tanım öyle... Sanırım kafanı karıştıran şey, son cümlen. Diğer taraftan, sayıların hepsinin hayâlî olduğuna kânî olursan bence kavraman daha kolay olur.

Sayı doğrusuna koyamadık onu evet, ama düzleme koyduk ve bir problem de yaşamadık.

Mutlak değerin neden böyle tanımlandığını mı anlamadın? Öyleyse, "en doğalı olduğundan" diye cevap verebiliriz.

Sayı doğrusu üzerindeki bir sayı $x$ olsun. Bunun mutlak değerini yani $|x|$'i nasıl tanımlıyoruz. Yine $x$ sayısının $0$ noktasına (orijine) olan uzaklığı olarak değil mi? Bir sayının mutlak değeri ( $R$'de,$ R^2$ de,..., $R^n$ de )  orijine olan uzaklıktır. Tanımlar böyle...
Yine $R$'deki iki sayı arasında büyüklük,küçüklük ve eşitlik ilişkisinden birisi vardır. Çünkü tek boyutludur. Ama $R^2$ 'de (yani düzlemde), $R^3$ 'de (yani uzayda) ve daha büyük boyutlu uzaylarda  sadece eşitlik ilişkisi vardır.  Bu sebepledir ki herhangi iki karmaşık sayı için, hangisi daha büyüktür (ya da hangisi daha küçüktür) gibi bir soruyu soramıyoruz.
$a,b\in R$ ve  $i$ sanal birim olmak üzere herhangi bir karmaşık sayının  $a+i.b$ şeklinde yazılabildiğini ve bu karmaşık sayıya düzlemde $(a,b)$ sayı ikilisi ile gösterilen bir noktanın karşılık geldiğini sanıyorum biliyorsunuzdur. Öğretmeninizin de dediği gibi bu noktanın orijine olan uzaklığı $\sqrt{a^2+b^2}$ dir. Ama orijine uzaklığı $\sqrt{a^2+b^2}$ olan daha bir sürü nokta var. Mesela $a-ib, -a+ib,-a-ib$ karmaşık sayılarının orijine olan uzaklıkları (mutlak değerleri ya da modülleri) da $\sqrt{a^2+b^2}$  İşte modülleri (mutlak değerleri) aynı olan karmaşık sayılara belki eş modüllü sayılar denebilir. Örneğin modülü $5$ olan sonsuz sayıda karmaşık sayının $x^2+y^2=25$ çemberi üzerinde yer aldığını söyleyebiliriz.
Not: $R^n$ deki bir sayıyı o uzaydaki bir konum vektörünün bitiş noktası olarak düşünülmüştür.
...