Zar olasılıkları

0 beğenilme 0 beğenilmeme
46 kez görüntülendi

3 zarın atılması sonucu üst yüze gelen üç sayının 1 olması ila üç sayının aynı olması olasılıkları ne derece fark eder?

İlki bana göre 216 da 1 çünkü üçü de 6 da 1 olasılıkla 1 gelecek. Fakat aynı gelme olasılığı bana 36 da 1 gibi geliyor, her sayı için 216 da 1 ve toplamda 216 da 6.

Bir diğer sorum da şu, 4 zar varken en az üçünün 1, veya en az üçünün aynı gelmesi işleri nasıl değiştirir? Sanırım permütasyon ya da kombinasyon kullanılacak.Bir de şunu farkettim 1.koşul sonsuz zar olsa da %100 olmuyor ama 2.koşul 13.zarda garantiye çıkıyor, yanlışım varsa düzeltin.

10, Şubat, 10 Orta Öğretim Matematik kategorisinde RİYAZİYE (44 puan) tarafından  soruldu
11, Şubat, 11 RİYAZİYE tarafından düzenlendi
Ilk sorun icin:

1. durum (yesil nokta sayisis)/(tum nokta sayisi)

image 2. durum (yesil nokta sayisis)/(tum nokta sayisi)


image

Tahmin ettiğim gibi. Ama önceden farklı biliyordum 2.durumu .

 6/6 * 1/6 * 1/6 doğru bir yaklaşım olur mu bilmem.

Yazdığınız $6/6*1/6*1/6$  çarpımın sonucu  $6/216=1/36$ çıkıyor ama bu sayıların bir anlamı/açıklaması olmalıdır. Mesela $6/6$ kesinliği ifade eder. Peki burada kesin olan nedir? 

Aslında Ökkeş hoca üç boyutlu çok güzel bir açıklama ve çözüm vermiş.

Ama şekilsiz bir yaklaşımın nasıl olması gerektiği ile ilgili bir kaç kelam da ben edeyim istedim.

Üç zarın atılması deneyine ilişkin;

örnek uzay $E$ ile gösterilirse $s(E)=6.6.6=216$ dır. Üç zarın da  "1" olması olayı $A$ ise $A=\{(1,1,1)\}$ olup, bu sonuç örnek uzayda bir adet olduğundan $s(A)=1$ dir. İstenen olasılık $P(A)=\frac{s(A)}{s(E)}=\frac{1}{216}$ olur. Benzer olarak üç zarında aynı sayıyı göstermesi olayını $B$ ile gösterirsek,örnek uzayın eleman sayısı değişmeyecek ancak  $B=\{(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6)\}$ olacağından  $s(B)=6$   olacak ve istenen olasılıkta $6/216=1/36$ olacaktır.

Atılan zar sayısı 4 olursa;

1)En az üç zarın "1" olması olasılığını hesaplamaya çalışalım. Örnek uzayın eleman sayısı $6^4$  dür.

En az üç zarın "1"    olduğu durumların genel şekli şöyle olacaktır. $(1,1,1,x),(1,1,x,1),(1,x,1,1),(x,1,1,1),(1,1,1,1)$ i  Burada $x=2,3,4,5,6$ olabilir. Dolayısıyla istenilen/elverişli  durum sayısı $5.4+1=21$ dir. Ve olasılıkta $\frac{21}{6^4}$ olur.

2)En az üçünün aynı olması olasılığı:

Burada istenilen/elverişli durumların sayısını bulmak yeterlidir. Üç zarında aynı sayı olarak "1"  i  en az üç kez gösterdiği durum sayısı (eğer doğru hesapladıysam)  $21$ dir. Keza zarların aynı sayı olarak "2" yi en az üç kez gösterdiği durum sayısı yine $21$ değil mi? Böylece devam ederek  elverişli haller sayısını $6.21=126$ olarak buluruz. O zaman istenilen olasılık $\frac{126}{6^4}$ olur.  

Görüldüğü gibi sonuçlar farklı. Zaten dikkat edilirse ilk durum ikincinin içinde yer almaktadır.

Son cümlenizle yani "Bir de şunu farkettim 1.koşul sonsuz zar olsa da %100 olmuyor ama 2.koşul 13.zarda garantiye çıkıyor, yanlışım varsa düzeltin." ile ne sormak istediğinizi biraz açıklamanız gerekiyor.  

Atılacak zar sayısı 13 (ya da daha fazla) olduğunda zarların en az 12 tanesinin aynı sayıyı gösterme olasılığının  bir olduğunu mu sormak istiyorsunuz? garantiliyor derken?


6/6 daki kastım o zarın (1. zar) ondan önce atılan zarlarla aynı olma ihtimâli -ki ondan önce zar atılmadığı için kendisiyle aynı olma ihtimâli (belki biraz absürd bir yaklaşım oldu). 2. ve 3. zarda da 1. ile aynı olma ihtimâli 1/6dır dolayısıyla. Şunu diyebilirsiniz, ben zarları tek tek atmak istemiyorum hepsini aynı anda atacağım. Ama bunun ihtimâllere etki ettiğini sanmıyorum zarlar birbirine çarpsalar bile.

Zar sayısını arttırırsak kombinasyon alıp 5 ile çarpıp 6'nın zar sayısı kadar olan üssüne bölmek doğru sonuç için bir formûl olabilir mi, (istenilen durum sayısında +1 demedim sanırım 5 zarda 1den büyük bir sayı ekleyeceğiz)

En az 12 değil, 3'ünün aynı olma durumu yani 13 zardan en az 3'ü aynı sayıyı paylaşmak zorunda.

Ancak sonsuz zar olsa da en az 3'ü 1 olmak zorunda değil gibi geldi bana, ve uzun yorumunuz için teşekkür ederim.

Son yorumunuzu bir kaç kez okudum. Anladığım kadarı ile "zar sayısı 13 ve daha fazla olursa en az 3 tane "1" kesin görünür" diye düşünüyorsunuz. Bu yanlış bir düşünce. Zar sayısı 13 değil 2019 veya daha fazla bile olsa yine de üç tane "1" in görüneceği garanti değil. Çünkü hepsi "2" olabilir mesela ya da 2000 tanesi "6", 10 tanesi "4", geri kalanı da "3" olabilir mesela. Ama zar sayısı arttıkça üç tane  "1"  (ya da en az üç tane  "1") gelme olasılığı yükselir/artar.  

Biraz karıştırmışsınız sanırım. Benim sonsuz zardan kastım o dediğiniz en az 3ü 1 gelmesi. 13 zar örneği ise en az 3ü aynı olur diye vermiştim.

Yorumları dikkatlice ve anladığınızdan emin olarak bir kez daha okuyun bakalım. Kimin karıştırdığı anlaşılacaktır.

"Son yorumunuzu bir kaç kez okudum. Anladığım kadarı ile "zar sayısı 13 ve daha fazla olursa en az 3 tane "1" kesin görünür" diye düşünüyorsunuz."

Böyle birşey ben yazdım mı? 

Son yorumum demiştiniz, orada ne yazıyor acaba? "Ancak sonsuz zar olsa da en az 3'ü 1 olmak zorunda DEĞİL"

ben baştan beri değil diyordum zaten. Konu da kapanabilir 1'i dışında tüm sorular cevaplandı...

Sizin kendi yorumunuzdan bir cümleyi copy past ile aşağı alıyorum. 

En az 12 değil, 3'ünün aynı olma durumu yani 13 zardan en az 3'ü aynı sayıyı paylaşmak zorunda.

Bunun anlamı nedir?

Bakın Mehmet Bey konuyu uzatmak ben istemiyorum. Biliyorum soru sorma tarzım biraz tuhaftır, yani düşüncemi aktarmada akıcılığım yoktur. Ayrıca copy-paste ettiğiniz cümlede şu yazıyor 13 zardan 3'ü aynı sayıyı paylaşmak zorunda. Yani 13 tane zar atalım, bunlardan en az 3'ü 4 gelicek veya 6 veya 5, ama sonuçta 3 tanesi aynı gelicek. Oradaki 12 değilden kastım, siz 12 tane zarın aynı olma olasılığının 1 olduğunu mu söylüyorsunuz diye sorunca hayır dedim.
...