$S_n$'in Young Altgrubuna etkisi

Question

Girdileri $\{1,2,\cdots,n\}$kümesinden olan $T=(a_{ij})_{ij}$ matrisi üzerindeki $S_n$ etkisini $\sigma \in S_n$ için $$\sigma T=(\sigma(a_{ij}))_{ij}$$ olacak biçimde tanımlayalım. $R(T)\subseteq S_n$ de, $T$'nin satırlarını küme olarak sabit bırakan permütasyonlardan oluşan altgrup olsun. Her $\sigma \in S_n$ permütasyonu için $$R(\sigma.T)=\sigma R(T)\sigma^{-1}$$ eşitliğini kanıtlayınız.

Comments

Esasen $R(T)$ grubu bir yaung tablo üzerine kuruluyor. Ben uzatmamak için matris ile ifade ettim. Yaung tablolar temsil kuramında kullanılmakla birlikte kombinatoriyel objelerdir. $S_n$ temsilleri için yaung tablolarını kullanıyoruz. Tablonun satırlarındaki girdilerini kendi aralarında değiştirdiğimizde elde ettiğimiz tablolar denk oluyor. Böyle tablolar ve denklik sınıflarını kullanarak Specht Modül dediğimiz bir $\mathbb{C}[S_n]$-Modül elde ediyoruz bunlar da $S_n$'lerin indirgenemez temsilleri oluyor.

Answer 1

Öncelikle $R(T)$ grubundan bir $\tau$ elemanı alalım ve $\tau^{\sigma}$ permütasyonunun $\sigma(T)$ matrisinin satırlarını sabit bıraktığını gösterelim. Böylece $$R(T)^{\sigma}\subseteq R(\sigma(T))$$ kapsanmasını ispatlamış olacağız. 

$$\sigma\tau\sigma^{-1}(\sigma(T))=\sigma(\tau(T)).$$ Eşitliği sayesinde göstermemiz gereken aslında $$\text{$\sigma(\tau(T))$ ve $\sigma(T)$}$$ matrislerinin satırlarının aynı olduğu. Şimdi $\tau(T)$ ile $T$ matrislerinin $k$'ıncı satırları aynı (sıraları değişik olabilir yalnızca). Girdilere teker teker $\sigma$ uygulandığında da doğal olarak aynı elemanlar elde edilecek.

Sercan'ın dediği gibi $\sigma$ yerine $\sigma^{-1}$ alınarak da diğer kapsama gösterilebilir.

Answer 2

Burada matrisler yerine (tekrarlı) kümelerin sıralıları  düşünülebilir. O zaman grup etkisinde iyi bilinen izotropi alt grup değişme formülü tam olarak bu eşitliği verecektir.

Daha açıkça $k\times m$ tipi matrisler yerine:

$A=\{B=(B_1,B_2,\ldots,B_k): B_i\subseteq\{1,2,\ldots,n\}\ (\text{ m elemanlı tekrarlı })\}$ kümesini (Her matrisi satırlarının sıralı kümesi olarak düşünüyoruz, satırlar içindeki sırayı unutuyoruz) $A$ üzerinde, (her bir $B_i$ ye etkisinden gelen) apaçık  bir $S_n$ (çarpım) etkisi var.

$T\mapsto B_T=$ (1. satır, 2. satır, ...,m. satır)  dönüşümü var. (satırlardaki sırayı unutan)

Verilen durumda $R(T)$ matrislerdeki etkiye göre izotropi alt grubu değil  ama şu durum var:

$R(T)=G_{B_T} (\text{izotropi alt grubu)} \quad  (G=S_n)$ ve $B_{\sigma T}=\sigma B_T$

Dolayısıyla, tüm grup etkilerinde olduğu gibi, 

$R(\sigma T)=G_{B_{\sigma T}}=G_{\sigma B_T}=\sigma G_{B_T}\sigma^{-1}=\sigma R(T)\sigma^{-1}$ doğru olur.

Comments

Benim kullandığım fikir, yukarıdaki bir yorumda beliritlilen,   Young tablolarının denklik sınıfları üzerindeki $S_n$ etkisine göre, $R(T)$ lerin izotropi alt grubu olması   (ama Young matrisleri üzerindeki $S_n$ etkisine göre izotropi alt grubu değil) .