Çevresi 36cm olan dikdörtgen şeklindeki bir karton kenarlarından biri etrafında döndürülüyor.Meydana gelen dairesel silindirin hacmi en fazla kaç cm^3 olabilir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
151 kez görüntülendi
Çevresi 36cm olan dikdörtgen şeklindeki bir karton kenarlarından biri etrafında döndürülüyor.Meydana gelen dairesel silindirin hacmi en fazla kaç cm^3 olabilir?
11, Ocak, 11 Lisans Matematik kategorisinde OkanYaz (11 puan) tarafından  soruldu
Coğrafyacıyım yardımınız dokunursa sevinirim :)

Dikdörtgenin kenarlarına ad (harf) verip silindirin hacmini bunlar cinsinden yazabilir misin?

Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu $a$  birim olarak alınırsa, diğer kenar uzunluğu $18-a$ birim olur. 

Bu dikdörtgeni $a$ kenarı etrafında yuvarlarsak $a$ taban çevresi, $18-a$ yüksekliği olur. $2.\pi.r=a\rightarrow r=\frac{a}{2\pi}$ olur. Bu silindirin hacmi  $v=\pi.r^2.h \rightarrow v(a)=\pi.(\frac{a}{2\pi})^2.(18-a)=\frac{18.a^2}{4\pi}-\frac{a^3}{4\pi}$ birim küp olur. Hacmin $a$'ya göre türevi yani $v'(a)=0$ dan $a$ bulunur ve maksimum hacim hesaplanır.


Ben soruyu dikdörtgenin bir kenarı kıvrılarak silindir yapılması olarak anladım ve ona göre çözdüm. Ama Doğan Dönmez hocanın uyarısından yapılmak istenen silindirin dikdörtgenin bir kenarı kıvrılarak değil, bir kenarı etrafında çevrilerek (döndürülerek) yapılmak istendiğini anladım. Tabii o zaman soru çok daha kolay hale geliyor. Bu sefer $a$ taban çevresi değil silindirin taban yarı çapının uzunluğu olacaktır. 

Buna göre hacim :$v(a)= \pi.a^2.(18-a)=18.\pi.a^2-\pi.a^3$ olup $v'(a)=0$ dan $a=12$ cm  olarak bulunur. Maksimum hacim de $v=864\pi cm^3$  olur.

Teşekkürler hocam çok yardımcı oldunuz

Önemli değil. başarılar...

...