Belirsiz denklemlerin çözümleri

0 beğenilme 0 beğenilmeme
64 kez görüntülendi

$x^3+y^3=z^2$

$x^2-y^2=z^3$

$x^3+ax^2=y^3$

$x^3-ax^2=y^3$

Bu ve bunlar gibi denklemlerin çözümleri nasıl yapılır?

25, Kasım, 25 Orta Öğretim Matematik kategorisinde emresafa (91 puan) tarafından  soruldu

1) Her biri ayrı bir denklem midir? Yoksa $4$ denklemden oluşan bir denklem sistemi veriliyor ve ortak çözüm mü isteniyor?

2) Denklemlerin çözümü hangi küme üzerinde yapılacaktır? $\mathbb N$'de mi?, $\mathbb Z$'de mi?, $\mathbb R$'de mi?, $\mathbb C$'de mi?

3) $a$ neyi temsil ediyor? Bir parametre midir yoksa $x,y$ gibi denklem içindeki üçüncü bir bilinmeyen midir? 

4) Her bir denklemin farklı tarzda çözüm yöntemi olabilir. Bu yöntemlerin biri diğerine hiç benzemeyebilir. Yani, genel bir çözüm yöntemi olmayabilir.

1) Her biri ayrı denklemler.

2) Denklemlerin çözümü $\mathbb{R}$ üzerinde olacak.

3) $a$ bir parametredir.

Bunun gibi bazı sorular için geometrik çözümler , grafik ile çözümler gibi çeşitli çözümler vardı bu denklemleri internette bir sayfada eski matematikçilerden birinin çözdüğünü görmüştüm çözümlerini merak ettim.

$x^3+ y^3=z^2$ denkleminde $x=\sqrt[3]{z^2 - y^3}$ olup $y$ ve $z$ ye keyfi gerçel değerler vererek $x$ çözümlerini üretebiliriz. Denklemin tüm çözümleri iki parametreye bağlı olarak $\left( \sqrt[3]{z^2 - y^3}, y, z \right)$ üçlüleri biçiminde elde edilir.

Diğer denklemlerde de küp içeren değişken yalnız bırakılarak öbür değişkenler türünden ifade edilir.

Yukarıdaki soruların çözümü bu şekildedir. Benim tahminimce sormak istediğiniz şey, başka bir şeydi. Anahtar kelimem, ''eski matematikçilerden biri'' oldu. Ömer Hayyam, kübik (üçüncü dereceden polinom) türdeki bazı özel denklemlerin çözümleriyle ilgilenmiş. Bunlara geometrik çözümler üretmiş diye biliyorum. Bir çember ve bir parabolün kesişimine dayanan çözümlerdi bunlar. Bilim Teknik dergisinde mi görmüştüm yoksa Matematik Dünyası dergisinde mi hatırlayamadım. Hayyam bu yöntemle negatif kökleri bulamıyor sanırım. O zamanlar negatif sayılar keşfedilmediğinden dolayı olabilir. Belki de negatif sayılar az çok biliniyor fakat bilinmeyen olan $x$ ile pozitif değere karşılık gelen bir uzunluğu temsil etme alışkanlığından dolayı olsa gerek, negatif kök bulsalar bile bunu yazma gereği duymamış da olabilirler. (Bu sonuncusu benim varsayımım, referans gösterebileceğim bir kaynağım yoktur). Diğer taraftan kübik denklemler 1500'lerde İtalya'da önce Nicolo Tartaglia ve sonra da Gerolamo Cardano tarafından genel halde çözüldü. Karmaşık sayılar kümesindeki kökleri de dahil olmak üzere tüm kökleri elde edebiliyorlardı. Bu aşamaya gelince, zamanın bazı matematikçilerinde sanki matematiğin sınırına erişilmiş hissi oluşuyor. Dördüncü dereceden denklemi çözmeyi lüzumsuz görenler oluyor. Çünkü, ''$x^3$ ile en, boy, derinlik çarpımını ifade eden hacim ile ilgili bir ölçümü yapmış oluyoruz. $x^4$ içeren bir denklemin yaşadığımız evrende bir karşılığı yoktur'' kanaati oluşuyor.


İlerleme hamleleri başlamış 1500'lerin Avrupa'sında hal böyle iken, 1048-1131 de yaşamış Ömer Hayyam'ın negatif sayıları (bulsa bile) pas geçmesi çok normaldir. Okuduğum o dergideki yazıda da parabol ve çember çizimli geometrik çözümün detaylarından bahsetmiyordu galiba. Ben de çok anlamayınca ''zaten genel biçimde çözülmüş, Cardano Formüllerini de biliyorum'' diyerek anlamak için üstelemedim. İnternetteki bahsettiğiniz kaynağınız da aynı dergiden alıntı yapmış olabilir. $a$ ve $y$ verilmiş birer pozitif değer iken  $x^3 - ax^2=y^3$ ya da $x^3 + ax^2=y^3$ gibi denklemlere geometrik çözümler üretilmiş. Tek bilinmeyen var, o da $x$.


Hepsini beraber düşününce, kübik denklemlerin bu özel yapılarının 1100'ler de çözülebilmesi önemli bir bilimsel başarı olduğuna kuşku yok. (Yazının da okuyucuya vermek istediği mesajı buydu belki). Aklınıza takılan şey, kübik denklemin geometrik çözüm yöntemi ise tam olarak bununla ilgili resimleri, dokümanları, internet sayfası bağlantılarını da orijinal sorunuza ekleyebilirsiniz. Konuya daha yakın birilerinin yorum yapma, istediğiniz çözümü açıklama şansı artar.

...