Karekökün karesi mi mutlak değerdir yoksa tam zıttı mı?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
45 kez görüntülendi
Köklü sayılarda kafamı karıştıran bir durum,
$\sqrt{a^2}$ ve $\sqrt{a}^2$ ikilisinin farkları nelerdir?
1.sinde negatif de yazabiliriz pozitif de ama sonuç $a$ mı yoksa $|a|$ mı?
2.sinde pozitif yazabiliriz ama sonuç kare çıkacağı için $|a|$ mı?
26, Ekim, 26 Orta Öğretim Matematik kategorisinde RİYAZİYE (40 puan) tarafından  soruldu

bir kac negatif ve pozitif sayi koyarak denediniz mi ... sonra daha formal olarak gosterebilirsiniz saniyorum.


bu arada kök icine negatif yazilmayacagini dusunebiliriz

$\sqrt a^2=\sqrt{a^2}=|a|$ dır.

Evet dediğiniz işlemi denedim ancak ikisininde grafiği x ekseni üzerinde (ikisi de mi mutlak değer?) ve pozitif sayıların 2 karekökü olmasına rağmen mutlak değer neden yapıyoruz, onu anlamadım mesela.

$a=2$,  $a^2=4$, $\sqrt{a^2}=-2,+2$

$a=2$, $\sqrt{a}=-\sqrt{2},+\sqrt{2}$, $\sqrt{a}^2=2$

$a=-2$, $a^2=4$, $\sqrt{a^2}=-2,+2$

$a=-2$, $\sqrt{a}=i\sqrt{2}$, $\sqrt{a}^2=-2$

$a=|-2|$, $\sqrt{a}=\sqrt{2}$, $\sqrt{a}^2=2$

Görüldüğü üzere a pozitif veya negatif ise sonuç hem negatif hem de pozitif çıkabilir.

Ancak ilk olarak kare sonra kök alınırsa 2 sonuç, ilk olarak kök sonra kare alınınca da sonuç asıl sayı çıkıyor. (imajiner sayının diğer kökünü yazma gereği duymadım)

Ayrıca mutlak değer özelliklerinde şöyle birşey var;

$|a|^n=|a^n|$

bu her $n$ reel sayısı için geçerli değildir değil mi, çünkü $n=1/2$de grafikler farklı oluyor

Hemen şunu belirtmem gerekiyor. $\sqrt{4}=\pm2$ değil sadece $2$ dir.

$\sqrt{x^2}=|x| $ dir. Bu da x<0 iken $|x|=-x$ , $x\geq 0$ iken $|x|=x$ dir.  Ayrıca $x^2=a$ ise $a\geq 0$ dır. Yani kök kuvveti 2,4,6,.. gibi çift bir tam sayı ise kökün içinde negatif bir sayı olamaz.  yazdıklarınızdan bazıları; $a=2,a^2=4,\sqrt{a^2}=-2,+2$ yanlıştır.  Karekök içindeki bir sayı dışarı ASLA negatif olarak çıkmaz. Yani$\sqrt4=-2,+2$ yanlıştır. Sadece $\sqrt4=2$ dir. 

"Görüldüğü üzere a pozitif veya negatif ise sonuç hem negatif hem de pozitif çıkabilir." ifadesi yanlıştır. Sayı ister negatif isterse pozitif olsun, karesi alınıp karekökü alındığında dışarı pozitif çıkar. 

$|a|^n=|a^n|$  deki $n$ (sanıyorum ) tam sayı.

Peki neden yanlış olduğunu sormayacağım çünkü hem bu sitede hem de başka sitelerde bunun üzerine ifadeler gördüm, -2 nin karesi 4 iken 4 ün karekökü -2 olamaz. Herhâlde fonksiyon olabilmesi için x'in 2 farklı değere gitmemesi lazım diye düşünüyorum

Öyle değil. Sadece $a\geq 0$ iken $\sqrt a\geq 0$ olmasındandır.

Karekök uygulamasının bir fonksiyon belirtmesini istiyoruz. Çünkü o zaman kare alma fonksiyonunun tersi karekök alma fonksiyonudur diyebiliriz. Ama kare alma fonksiyonu birebir bir fonksiyon değil. Mesela $-2$ ile $2$ aynı sayıya gidiyorlar. Dolayısıyla bu fonksiyonun tersini oluşturmak istiyorsak $4$'ün gönderileceği yeri seçmemiz lazım. Zira bir fonksiyon bir sayıyı birden fazla bir yere götüremez. $4$'ü nereye götüreceğiz? $2$'ye mi yoksa $-2$'ye mi? Hangisini istersen. Istersen $4$ için $-2$'yi, $9$ için $+3$'ü seç. Her sayı için böyle teker teker seçme yerine demişiz ki: "Sadece pozitif olanları seç, tek tek seçmekle uğraşma. Herkes kimin ne seçtiğini bilsin. Hem de eğer bu seçimi bu şekilde yaparsak, elde ettiğimiz fonksiyon surekli, turevlenebilir falan oluyor, harika. "

Emin değilim  Mehmet Toktaş çünkü ilk cevabınızda iki denkleminde sonucunun mutlak a olduğunu belirttiniz ancak grafik olarak sadece ikincisi mutlak a'ya eşit (birincisinde de f(a) pozitif ama a da pozitif, bu da mutlak a grafiğinin sağ yarısı)

Özgür bey ziyadesiyle açıklamış. Ben de şunları ekleyeyim:

$$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:[0,\infty)\to [0,\infty)$$ fonksiyonu ile $$g(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$g:(-\infty,0]\to [0,\infty)$$ fonksiyonunu ele alalım. Karekök fonksiyonu $(\sqrt{ \cdot })$ yukarıda verdiğimiz -birebir ve örten olan- $f$ fonksiyonunun tersi olarak tanımlanır. Yani $$\sqrt{x}:=f^{-1}(x)$$ kuralı ile verilen $$\sqrt{\cdot}:[0,\infty)\to [0,\infty)$$ fonksiyonuna karekök fonksiyonu denir. 

Öte yandan yukarıda verdiğimiz $g$ fonksiyonu da birebir ve örtendir fakat bu $g$ fonksiyonunun tersi

$$g^{-1}(x)=-\sqrt{x}$$ kuralı ile verilen $$g^{-1}: [0,\infty)\to (-\infty,0]$$ fonksiyonudur. 

...