$A^2$ sayısının $A$'dan küçük ama $A$'nın çarpanı olmayan kaç çarpanı var ?

Question

$a,b,c,x,y,z\in N$ ve $x,y,z$ birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere

$ A=x^a.y^b.z^c$ olsun. $A^2=x^{2a}.y^{2b}.z^{2c}$ sayısının $A$'dan küçük ama $A$'yı bölmeyen kaç çarpanı vardır bulabilirmiyiz bulabilirsek nasıl ?

Comments

Sen neler düşündün  qyqipeeoiiuroior?

x,y,z asal mı? 

---

Evet $x,y,z$ asal sayılar.yazmayı unutmuşum. $A^2$ sayısının çarpanı ama $A$ sayısından küçük ve $A$ sayısının çarpanı olmayan sayılar için şöyle çarpanlara baktım.

$x^m.y^n.z^k$ bu sayı $A^2$'nin bir çarpanı olduğundan

$m\le2a$,  $n\le2b$,  $k\le2c$ ve 

$A$'yı bölmeyeceğinden $m>a$ veya $n>b$ veya $k>c$

Ve son olarak $A$'dan küçük olduğundan

$m< a$ yada $n< b$ yada $k< c$.

Ama sıkıntı şu $m>a$ olduğunda $n<b$ için ve $k<c$ için (hatta belki $k>c$ bile olabilir.) kaç değer var? 

bunun için $x,y,z$'nin değerlerini bilmek gerekmez mi ?

---

Bu soruyla denk denilebilecek bir soru $A^2$ sayısının $A$'dan küçük kaç çarpanı var ? bu sorunun cevabı $\dfrac{(2a+1)(2b+1)(2c+1)-1}{2}$

yani $A^2$ sayısının $A$ sayısından küçük çarpanlarının sayısı $A$ sayısından büyük çarpanlarının sayısına eşit. bunu nasıl ispatlarız ?

---

Bunun cevabı vardı galiba ama ben tekrar yazayım çok kolay ($A>0$ doğal sayı):

$\{n: n\mid A^2, 1\leq n<A\}$ kümesi ile  $\{m: m\mid A^2, m>A\}$ kümesi arasında

$n\mapsto \frac{A^2}n$ fonksiyonu 1-1 bir eşlemedir.