Processing math: 30%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi

Her xi pozitif reel sayı ise

(x1+x2++xn)(1x1+1x2++1xn)n2

olduğunun ispatı. üstünde biraz düşündüm ama aklıma payda eşitlemekten başka bir şey gelmedi, payda eşitlenerek bulunamayacağını düşündüm. harmonik ortalama ve aritmetik ortalama eşitsizlikleri kullanılarak yapılabiliyor ama faha farklı bir ispatı var mı ?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (194 puan) tarafından  | 1.7k kez görüntülendi

soru direkt harmonik-geometrik-aritmatik ortalama eşitsizliklerini biraz degiştirmesine oturtulmuş gibi gözüküyor, başka çözüm için matematik induksiyon denenebilir.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Her a,b>0 gerçel sayısı için ab+ba2 olduğunu ( ve eşitlik yalnızca a=b iken sağlanır) göstermek zor değildir.

(x1+x2++xn)(1x1+1x2++1xn)=n+(x1x2+x2x1)++(xn1xn+xnxn1)

olur. Sağdaki parantezlerin sayısı \binom{n}{2}=\frac12n(n-1)  ve her biri  \geq2 olduğundan, 

(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)\geq n+n(n-1)=n^2 elde edilir.

 (Eşitliğin, yalnızca, x_1=x_2=\cdots=x_n iken sağlandığı da, ilk satırdaki nottan elde edilir)

(6.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Farklı bir yol olarak Cauchy- Schwarz eşitsizliği  kullanılabilir


a_1,a_2,\dots , a_n ve b_1,b_2,\dots , b_n  gerçel sayıları için

(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)

eşitsizliği vardır. Eşitlik durumu ancak ve ancak \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}= \cdots = \dfrac{a_n}{b_n} iken vardır.

Burada a_i=\sqrt{x_i} ve b_i=\dfrac{1}{\sqrt{x_i}} (i=1,2, \dots, n ) alınırsa 

(1 + 1 + \cdots + 1)^2 \leq (x_1 + x_2 + \cdots +x_n)(\dfrac{1}{x_1} +\dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} ) 

elde edilir. Sol tarafta n tane 1 toplandığından istenen eşitsizlik elde edilir.

(2.6k puan) tarafından 
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,987 kullanıcı