Eşitsizlik İspatı

0 beğenilme 0 beğenilmeme
50 kez görüntülendi

Her $x_i$ pozitif reel sayı ise

$(x_1+x_2+\cdots+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n})\geq n^2$

olduğunun ispatı. üstünde biraz düşündüm ama aklıma payda eşitlemekten başka bir şey gelmedi, payda eşitlenerek bulunamayacağını düşündüm. harmonik ortalama ve aritmetik ortalama eşitsizlikleri kullanılarak yapılabiliyor ama faha farklı bir ispatı var mı ?

28, Eylül, 28 Orta Öğretim Matematik kategorisinde qyqipeeoiiuroior (76 puan) tarafından  soruldu

soru direkt harmonik-geometrik-aritmatik ortalama eşitsizliklerini biraz degiştirmesine oturtulmuş gibi gözüküyor, başka çözüm için matematik induksiyon denenebilir.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Her $a,b>0$ gerçel sayısı için $\frac ab+\frac ba\geq2$ olduğunu ( ve eşitlik yalnızca $a=b$ iken sağlanır) göstermek zor değildir.

$\begin{align}&(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)\\&=n+\left(\frac {x_1}{x_2}+\frac {x_2}{x_1}\right)+\cdots+\left(\frac {x_{n-1}}{x_n}+\frac {x_n}{x_{n-1}}\right)\end{align}$

olur. Sağdaki parantezlerin sayısı $\binom{n}{2}=\frac12n(n-1)$  ve her biri  $\geq2$ olduğundan, 

$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)\geq n+n(n-1)=n^2$$ elde edilir.

 (Eşitliğin, yalnızca, $x_1=x_2=\cdots=x_n$ iken sağlandığı da, ilk satırdaki nottan elde edilir)

30, Eylül, 30 DoganDonmez (3,626 puan) tarafından  cevaplandı
...