Tüm öz alt grupları değişmeli ama kendisi değişmeli olmayan bir grup var mıdır?

Question

Bir grup değişmeli ise, tüm alt grupları da değişmelidir tabii ki.

Diğer yandan tüm alt grupları değişmeli olan bir grubun kendisi de değişmeli olmak zorunda, nitekim her grup kendisinin bir alt grubu.

Dolayısıyla soruyu şöyle bir hale getirmek gerekiyor; Tüm öz (proper) alt grupları değişmeli ama kendisi değişmeli olmayan bir grup var mıdır?

Answer 1

$S_{3}$, tüm öz alt grupları değişmeli olduğu halde kendisi değişmeli olmayan bir gruba örnek olarak verilebilir.

Answer 2

$p$ bir asal olmak üzere $p^3$ elemanlı abel olmayan her grubun bu özelliği vardır çünkü $1$, $p$ ya da $p^2$ elemanlı her grup abeldir. $p=2$ iken 8 elemanlı abel olmayan iki grup vardır: $Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ quaternion grubu ve 8 elemanlı dihedral grup $D_4$. Başka örnek: Eğer $p > 2$ bir asalsa, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ cismi üzerine, diyagonalde 1 olan, diyagonalin altında hep 0 olan $3\times 3$ boyutlu matrisler $p^3$ elemanlı abel olmayan gruplardır.

Answer 3

Sorunun cevabı evet.. 1903 tarihli aşağıdaki makalede bu tür gruplar tesnif edilmiş. Ancak kolay bir örnek bulacak kadar bakmadım. (makalenin başlığında da "proper subgroup" dememiş bu arada. 1903'lerde bu mevzulara o kadar takmıyorlarmış anlaşılan)

NON-ABELIAN GROUPS IN WHICH EVERY SUBGROUP IS ABELIAN (G. A. MILLER AND H. C. MORENO)

http://www.ams.org/journals/tran/1903-004-04/S0002-9947-1903-1500650-9/S0002-9947-1903-1500650-9.pdf

Answer 4

Daha özel olarak tüm alt grupları (asal) $p$ elemanlı sonlu grup olup kendisi sonsuz ve değişmeli olmayan gruplar vardır.  http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski_monster_group