En kısa yol ne zaman B den daha yukarı çıkar? - Matematik Kafası

En kısa yol ne zaman B den daha yukarı çıkar?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
33 kez görüntülendi

Taban yarıçapı $r$, yüksekliği $h$ olan bir (dik dairesel) koni, onun taban kenarında bir $A$ noktası ve $A$ yı tepeye birleştiren doğru parçası üzerinde ($A$ dan $\ell$ uzaklıkta) bir $B$ noktası verilmiş olsun. $A$ dan $B$ ye, koni etrafında bir tur atarak en kısa yoldan gitmek istiyoruz. Bazı durumlarda bu yol $B$ noktasından daha yükseğe çıkıp daha sonra aşağı iniyor. Soru şu: $r,\ h,\ \ell$ arasında nasıl bir ilişki (eşitsizlik) olduğunda  $A$ dan $B$ ye (koni etrafında bir kez dolanan) en kısa yol  $B$ noktasından önce daha yükseğe çıkıp, sonra aşağı iner? (Aşağıdaki şekildeki kırmızı yol) (edit: imla hataları)

image

(bu soruyu, Kore de üniversiteye giriş sınavında sorulan bir sorudan ürettim. Daha sonra o soruyu da soracağım)

11, Ağustos, 11 Orta Öğretim Matematik kategorisinde DoganDonmez (3,596 puan) tarafından  soruldu
6 gün önce DoganDonmez tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

image

Koninin yan yüzünü, $AO$ doğrusu boyunca kesip açtığımızda, $ O $ merkezli, $\sqrt{r^2+h^2}  $ yarıçaplı bir daire dilimi oluşur. $O$ daki açı (radyan cinsinden) $ \frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}} $ dir. $A$ ile $B$ arasında istenen en kısa yol, şekilde  (kırmızı) doğru parçası olacaktır. Bu yol üzerinde $B$ den daha yüksek bir noktanın var olması, $ O $ dan $ AB $ doğrusuna çizilen dikmenin ayağının $A$ ile $B$ arasında olmasın eşdeğerdir.  Bu  da ancak, $OAB$ üçgeninde, $A$ ve $B$ köşelerindeki açılarının dar açı olması ile mümkündür.   Bu nedenle, $ \frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}}\geq\frac{\pi}{2}  $ olduğunda ($ O $ daki açı dik veya geniş olur), bu dikmenin ayağı $A$ ile $B$ arasındadır ve $A$ dan $B$ ye (istenen) en kısa yol, $B$ noktasından önce daha yükseğe çıkıp, daha sonra aşağı iner. $O$ köşesindeki açı dar olduğunda, yine aynı durum, $B$ deki açı dar olduğunda ($A$ daki açı daima dardır) ortaya çıkacaktır. $ A $ dan $OB$ ye inilen dikmenin ayağı $ C $ olsun. $B$ noktası, $ O $ ie $ C $ arasında ise ($ OAB $ üçgeninin ) $B$  deki (iç) açısı geniş, aksi halde dar olur. Öyleyse,($ O $ daki açı dar iken) $ |OC|=\sqrt{r^2+h^2}\cos\left(\frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)$ olur. $$ \ell<\sqrt{r^2+h^2}-\sqrt{r^2+h^2}\cos\left(\frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)=\sqrt{r^2+h^2}\left(1-\cos\left(\frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)\right)$$ iken $B$ deki açı dar açı olup, yine $A$ dan $B$ ye (istenen) en kısa yol, $B$ noktasından önce daha yükseğe çıkıp, daha sonra aşağı iner (aksi halde de $B$ noktasından daha yükseğe çıkmaz).

(Not: $O$ daki açı dik veya geniş ise, $\cos\left(\frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)\leq0$ olup, bu eşitsizlik yine sağlanır. Öyleyse, $A$ dan $B$ ye (istenen) en kısa yolun, $B$ noktasından önce daha yükseğe çıkıp, daha sonra aşağı inmesi için gerek ve yeter koşul

$$ \ell<\sqrt{r^2+h^2}\left(1-\cos\left(\frac{2\pi r}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)\right)$$ olmasıdır.)

13, Ağustos, 13 DoganDonmez (3,596 puan) tarafından  cevaplandı
3 gün önce DoganDonmez tarafından düzenlendi
A dan B ye en kısa yolun iniş kısmının uzunluğunu bulunuz.
...