Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir (dik dairesel) koni, onun taban kenarında bir A noktası ve A yı tepeye birleştiren doğru parçası üzerinde (A dan uzaklıkta) bir B noktası verilmiş olsun. A dan B ye, koni etrafında bir tur atarak en kısa yoldan gitmek istiyoruz. Bazı durumlarda bu yol B noktasından daha yükseğe çıkıp daha sonra aşağı iniyor. Soru şu: r, h,  arasında nasıl bir ilişki (eşitsizlik) olduğunda  A dan B ye (koni etrafında bir kez dolanan) en kısa yol  B noktasından önce daha yükseğe çıkıp, sonra aşağı iner? (Aşağıdaki şekildeki kırmızı yol) (edit: imla hataları)

image

(bu soruyu, Kore de üniversiteye giriş sınavında sorulan bir sorudan ürettim. Daha sonra o soruyu da soracağım)

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

image

Koninin yan yüzünü, AO doğrusu boyunca kesip açtığımızda, O merkezli, r2+h2 yarıçaplı bir daire dilimi oluşur. O daki açı (radyan cinsinden) 2πrr2+h2 dir. A ile B arasında istenen en kısa yol, şekilde  (kırmızı) doğru parçası olacaktır. Bu yol üzerinde B den daha yüksek bir noktanın var olması, O dan AB doğrusuna çizilen dikmenin ayağının A ile B arasında olmasın eşdeğerdir.  Bu  da ancak, OAB üçgeninde, A ve B köşelerindeki açılarının dar açı olması ile mümkündür.   Bu nedenle, 2πrr2+h2π2 olduğunda (O daki açı dik veya geniş olur), bu dikmenin ayağı A ile B arasındadır ve A dan B ye (istenen) en kısa yol, B noktasından önce daha yükseğe çıkıp, daha sonra aşağı iner. O köşesindeki açı dar olduğunda, yine aynı durum, B deki açı dar olduğunda (A daki açı daima dardır) ortaya çıkacaktır. A dan OB ye inilen dikmenin ayağı C olsun. B noktası, O ie C arasında ise (OAB üçgeninin ) B  deki (iç) açısı geniş, aksi halde dar olur. Öyleyse,(O daki açı dar iken) |OC|=r2+h2cos(2πrr2+h2) olur. <r2+h2r2+h2cos(2πrr2+h2)=r2+h2(1cos(2πrr2+h2))

iken B deki açı dar açı olup, yine A dan B ye (istenen) en kısa yol, B noktasından önce daha yükseğe çıkıp, daha sonra aşağı iner (aksi halde de B noktasından daha yükseğe çıkmaz).

(Not: O daki açı dik veya geniş ise, cos(2πrr2+h2)0 olup, bu eşitsizlik yine sağlanır. Öyleyse, A dan B ye (istenen) en kısa yolun, B noktasından önce daha yükseğe çıkıp, daha sonra aşağı inmesi için gerek ve yeter koşul

<r2+h2(1cos(2πrr2+h2))

 olmasıdır.)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
A dan B ye en kısa yolun iniş kısmının uzunluğunu bulunuz.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,910 kullanıcı