3 salyangoz birbirini kovalıyor. Ne zaman karşılaşırlar?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
115 kez görüntülendi

$3$ salyangoz kenarı $a$ olan bir eşgenar üçgenin köşelerinde duruyor. $t_0$ anında sürekli birbirini sabit $v$ hızı ile kovalayacak şekilde hareketlerine başlıyorlar:

$$s_1\rightarrow s_2\rightarrow s_3 \rightarrow s_1$$

yani $s_1$, $s_2$yi, $s_2$, $s_3$'ü kovalıyor ve $s_3$  de $s_1$'i kovalıyor. (Diagrama bakınız.)


         image   $$diagram$$



Soru: Karşılaşacakları zamanı verilenler cinsinden bulunuz.

Ipucu.1 yol olarak sürekli birbirlerine doğru $v$ hızını analiz edebilirsiniz. 2 calculusvari yöntemlerle logaritmik yol gibi olan yola polar kordinatları uygulayabilirsiniz.

24, Haziran, 24 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
Ben anlamadim. Nasil oluyor da ucu de ayni hiza sahipken birbirlerine yetisebiliyor? Bu mumkun degil. Aralarindaki mesafe hep ayni kalir.?
Sadece başta hayali bir eşkenar-üçgen var da bunlar köşelerindeymiş gibi. Üçgenin üstünde kalmak koşuluyla birbirlerini kovalamıyorlar, koşulsuzca sadece aynı hızda ve aynı hedefe kitlenip kovalıyorlar.
                          image


Bunlar "bilinçli varlıklarsa", sabit hızla birbirini kovalayan hiçbir varlıklar birbirini yakalayamaz. :)
Şaka...

Çözümü merak ettim.

Mantik olarak 3'ude spiral yaparak eskenar ucgenin merkezinde bulusurlar. Ne zaman bulusurlar sorusu ise.....?


sonlu bir zamanda buluşcaklar, o zamanı verilenler cinsinden bulmamız isteniyor.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Olay tamamen simetrik olduğundan çok kısa bir süre sonra oluşacak şekil tekrar bir eşkenar olur.

image

Ve her an bu eşkenar üçgen üzerinde bu salyangozların hız vektorunu analiz edelim. Eşkenar üçgenin her açısı $\pi/3$ olduğundan $cos \pi/3=1/2$ olur dolayısıyla..

image
yani üçgen nerede olursa olsun ne kadar küçülürse küçülsün hep 2 salyangoz arasında yaklaşma hızı $v+v/2=3v/2$ olacaktır.

Sonuç:

Geçen her anı ve geçen bu her anda alınan yola bakarsanız sürekli $dx$ kadar çok küçük yollar alınıyor ve hız hep aynı(birbirini kovalayan her 2li arasındaki birbirine göre olan hız). Peki baştaki mesafe neydi (herhangi 2 ardışık salyangoz arasındaki),  $a$ idi. Dolayısıyla karşılaşmaları için geçen zaman $t=\dfrac a{3v/2}=\dfrac{2a}{3v}$

29, Haziran, 29 Anil (7,732 puan) tarafından  cevaplandı
29, Haziran, 29 Anil tarafından düzenlendi

calculus-vari çözümü de var, o da güzel ama bol işlemli.

Verdigin sekil sunun icin $s_1\rightarrow s_3\rightarrow s_2\rightarrow s_1$. Yada soru soran ki ucgenin koseleri degistirilmeli.

Düzeltildi, teşekkürler.

...