Köklerin reel sayılarla kıyaslanması

0 beğenilme 0 beğenilmeme
63 kez görüntülendi
$f(x)=x^{2}+mx-m-1=0$ denkleminin kökleri a ve b olsun. a<-1<b<2 olduğuna göre m hangi aralıkta olmalıdır?Elimdeki kaynakta bu sorunun alternatif bir çözümü için f(-1).f(2)<0  ve 2>(-m/2) eşitsizlik sisteminin çözüm aralığı alınmış.Bu esitsizlikler aynı zamanda -1< a<2<b olduğunda da sağlanmaz mı?
24, Haziran, 24 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Hakan_ (36 puan) tarafından  soruldu
24, Haziran, 24 Hakan_ tarafından düzenlendi
$a<2<b<-1$ şeklide sayılar var olabilir mi?
Pardon hocam eşitsizliği yanlış yazmışım -1<a<2<b olacaktı.

Soruya cevap verdim ama soru ve yorumda verilenler farkli. Kisa cevaplara gore cozum ikisine gore de rahatlikla bulunabilir.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Uzun cozum: 

Bu fonksiyonun iki farkl kokunun olmasi icin $$\Delta=(m+2)^2>0$$ olmasi gerekli. Yani $$m\ne -2$$ olmasi gerekli. 

Diyelim ki bu sart saglaniyor. O zaman iki farkli koku var. Bunlardan kucugune $a$ buyugune de $b$ diyelim.
  
Kokleri bildigimizden ve bas katsayi da $1$ oldugundan $$f(x)=(x-a)(x-b)$$ olarak yazabiliriz.

$-1$ ve $2$ degerleri icin fonksiyonlari hesaplarsak verilen esitsizlik geregi $$f(-1)=(-1-a)(-1-b)<0$$ ve  $$f(2)=(2-a)(2-b)>0$$ esitsizlikleri saglanir. Hatta bu esitsizliklerin saglanmasi da $a<-1<b<2$ esitsizliginin saglanmasini gerektirir. Nasil? 

Cevap:
(1) $f(-1)<0$ demek $-1$ iki kok arasinda demek...
(2) $f(2)>0$ demek ya iki kok de $2$den buyuk ya da ikisi de $2$den kucuk demek..

Iki kok de 2den buyuk olamaz, olsaydi $-1$ iki kok arasinda olamazdi demek ki iki kok de $2$den kucuk olmali. Bu da bize $$a<-1<b<2$$ esitsizligini verir. 


O zaman sartlarimiz $$f(-1)=-2m<0$$ ve $$f(2)=m+3>0$$  olur. Bu da bize $$m>0$$ olmasi gerektigini verir. 

Kisa Cozum: $\Delta=(m+2)^2$ oldugundan kokler $$\frac{-m\pm|m+2|}{2}=\frac{-m\pm(m+2)}{2}=\{1,-m-1\}$$ olur. Bi da bize $-m-1<-1$ yani $m>0$ olmasi gerektigini verir. 


Daha kisa bir cozum: $1$in bir kok oldugunu gorerek olabilir. Bu sekilde diger kokun $-m-1$ olmasi gerektigi de gozukur. Bir ustteki cozumden temelde bir farki yok.

26, Haziran, 26 Sercan (23,797 puan) tarafından  cevaplandı

Hocam cevaba ulasıyorum orada sıkıntı yok.Benim kafama takılan husus yukarda verdiğim çözümün ne kadar sağlıklı olduğu? f(-1).f(2)<0 2>(-m/2) eşitsizlik sisteminin çözüm aralığını almak hem soruda verilen hem de benim yorumda yazmış olduğum eşitsizliği sağlayan durumlari almak demek değil midir?

...