alanı A birimkare olan bir teneke levhadan dikdörtgenler prizması biçiminde en büyük hacimli kap yapılmak isteniyor. bu prizmanın küp olması gerektiğini kanıtlayınız.

Question

ben önce bir dörtgen çizdim ve köşelerinden kareler çizip çıkarttım bunun prizmanın karşılıklı bakan yerlerine gelmesi gerektiğini düşündüm kenarlara harf verdim prizmada da denk gelen yerlere bu harfleri yazdım. ancak buradan bir şey elde edemedim farklı bir yol da aklıma gelmiyor. yardımcı olursanız çok sevinirim. kafam kaç gündür bu soruda.

Comments

Eğer teneke levhanın bilinen geometrik bir şekli varsa (soruda belirtilmemiş) bu sorunun kategorisi sanırım Orta Öğretim olmalı.

---

Teneke levha kullanılarak mi yoksa, teneke levha harcanarak mı oluşturuyoruz bu dikdörtgenler prizmasini?

---

Hayır belirli bir şekli yok

---

Bir teneke levha var bu teneke levhayı bozup dikdortgenler prizmasi yapmak istiyoruz

---

Sorunun ifadesinin tam olarak böyle olduğundan emin miyiz acaba? Verilen $A$ alanı belirsiz olduğundan belkide her çeşit prizmanın yapımına cevap veren bir büyüklüktür. O zaman elde edilecek prizma neden küp olmak zorunda olsun ki?

---

Köşelerden kesilecek parçaların (atılmayıp) kutunun üst kısmını kapatmak için kullanılacağı kastediliyor sanırım. Bir de bu şekilde düşün

Answer 1

Kenarları $x,y,z$  olan dikdörtgen prizmanın hacmi $V=xyz$ alanı $2(xy+yz+xz)$ dir.

Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden,

$\frac{2xy+2xz+2yz}3\geq\sqrt[3]{(2xy)(2xz)(2yz)}=2V^{\frac23}$ olur.

Bu da $V\leq \left(\frac{A}6\right)^{\frac32}$ olması demektir.

Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliği, tüm sayılar eşit ise eşitlik olacağından $2xy=2xz=2yz$ yani $x=y=z$ iken eşitlik sağlanır, yani en büyük hacimli dikdörtgenler prizması elde edilir. 

Bu da küp olur.

Comments

Merhaba Doğan Hocam,

Siz cevap öncesi yaptığınız yorumda verilen $A$ alanlı levhayı " Köşelerden kesilecek parçaların (atılmayıp) kutunun üst kısmını kapatmak için kullanılacağı kastediliyor sanırım. Bir de bu şekilde düşün"  demişsiniz. Böyle olduğunu bilmiyoruz ki. Soru sahibi levhanın şekline ilişkin herhangi bir bilgi olmadığını söyliyor. belkide kapalı bir eğri tarafından sınırlandırılmış (gayri muntazam) bir alan. Bilmiyoruz ki. 

Çözümünüzdeki $A$ değerini neye dayanarak aldınız? 

---

Sayın Mehmet Toktaş, itirazınızda elbette haklısınız. 

Soruda açıkça belirtilmemiş ama, verilen levhanın şekline göre (sonlu sayıda düz çizgi şeklinde kesme yaparak) değil küp, bir dikdörtgenler prizması bile  yapmak mümkün olmayabilir. 

Ben de, önce, beyzabjk1718 nin çözüm denemesinde belirttiği gibi, verilen levhanın dikdörtgen şeklinde olacağını düşünerek  o yorumu yazdım. Ama, o zaman bile cevabın küp olmayacağını ve onun yorumunda belirttiği gibi levhanın sadece alanı verildiği için, şekli istediğimiz gibi seçebilirsek ancak  küp  yapabileceğimizi farkettim. 

Kısaca levhanın şekli belirtilirse (sonlu sayıda düz çizgi şeklinde kesme yaparak) sorunun cevabı (levhanın şekline göre) değişecektir. Bazı şekillerde (örneğin daire gibi) sonlu sayıda düz çizgi şeklinde kesme yaparak prizma bile oluşmayacağı açıktır.

O nedenle, iyi sorulmuş bir soru olması için, soruda, verilen levhanın alanı A olmak koşulu ile, şeklinin istendiği gibi olabileceği gibi bir ifade olması iyi olurdu. Ben de bu varsayım ile bir çözüm yaptım.

Ya da daha basitçe, soru:

"Yüzey alanı  $A$ olan dikdörtgen prizmalar arasında en büyük hacimli olanın küp şeklinde olan olduğunu gösterin" 

şeklinde sorubilirdi.

(imla hatalarını düzelttim)

---

Teşekkürler Hocam.

Answer 2

Hacim $V=xyz$  ve alan $A=2(xy+xz+yz)$  olsun.

$A=2(xy+xz+yz)$,   $z$ yi cekersek, $z=\frac{A-2 x y}{2 (x+y)}$ olur ve bu ifadeyi $V$ de yerine koyarsak. 

$V(x,y)=xy\left(\frac{A-2 x y}{2 (x+y)}\right)$ olur.

$\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}=\frac{y (A-2 x y)}{2 (x+y)}-\frac{x y (A-2 x y)}{2 (x+y)^2}-\frac{x y^2}{x+y}=0$

$\frac{\partial V(x,y)}{\partial y}=\frac{x (A-2 x y)}{2 (x+y)}-\frac{x y (A-2 x y)}{2 (x+y)^2}-\frac{x^2 y}{x+y}=0$

Taraf tarafa cikartirsak,

$-\frac{x (A-2 x y)}{2 (x+y)}+\frac{y (A-2 x y)}{2 (x+y)}+\frac{x^2 y}{x+y}-\frac{x y^2}{x+y}=0$

Her iki tarafi $2(x+y)$ ile carparsak,

$-x (A-2 x y)+y (A-2 x y)+2x^2 y-2x y^2=0$

Ortak terimleri parantezlere alirsak,

$(A-2 x y)(y-x)-2xy( y-x)=0$

$(y-x)(A-2 x y-2xy)=0$

$(y-x)(A-4xy)=0$  $\Longrightarrow$ $x=y$  veya $xy=A/4$

$x=A/(4y)$ alip  surda yerine koyarsak

$\frac{y (A-2 x y)}{2 (x+y)}-\frac{x y (A-2 x y)}{2 (x+y)^2}-\frac{x y^2}{x+y}=0$

$x=0$ verir ama kenar sifir olamaz.

$y=x$ alip yerine koyarsak 

$\frac{x (A-2 x x)}{2 (x+x)}-\frac{x x (A-2 x x)}{2 (x+x)^2}-\frac{x x^2}{x+x}=0$

Sadelestirirsek,

$\frac{A}{8}-\frac{3 x^2}{4}=0$

Burdanda,

$x=\mp\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{6}}$

$x$ positif ve $x=y$ oldugundan

$x=y=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{6}}$ olur.

$z=\frac{A-2 x y}{2 (x+y)}$ idi.

Burdanda $z=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{6}}$ olur.

Bu da bize $A$ alanli bir  dikdortgenler prizmanin hacminin maksimum olmasi icin kenarlari $x=y=z= \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{6}}$ olan bir kup olmasi gerektigi sonucunu verir.