Kanıt:
(⇒): f, a'da türevli olsun. f, a'da türevli ise f′(a) mevcuttur. Bu durumda φ(x):={f(x)−f(a)x−a,x≠af′(a),x=a kuralı ile verilen φ:I→R fonksiyonunu tanımlayabiliriz.
limx→aφ(x)=φ(a)=f′(a) olduğundan φ fonksiyonu a noktasında süreklidir.
x=a ise f(x)−f(a)=0 ve φ(x)(x−a)=0 olup f(x)−f(a)=φ(x)(x−a) eşitliği sağlanır.
x≠a ise φ(x)=f(x)−f(a)x−a olup f(x)−f(a)=φ(x)(x−a) eşitliği sağlanır.
(⇐): a noktasında sürekli ve her x∈I için f(x)−f(a)=φ(x)(x−a) eşitliğini sağlayan bir φ:I→R fonksiyonunun mevcut olduğunu varsayalım.
x−a≠0⇒φ(x)=f(x)−f(a)x−a ve
φ:I→R fonksiyonu a noktasında sürekli olduğundan
φ(a)=limx→aφ(x)=limx→af(x)−f(a)x−a olup limit mevcuttur. O halde f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir ve f′(a)=φ(a).