Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
504 kez görüntülendi
Carathˊeodory's  Theorem: IR  aralık ve  aI olmak üzere f, a'da türevli (φRI  a'da sürekli)(xI)(f(x)f(a)=φ(x)(xa))
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 504 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kanıt: 

(): f, a'da türevli  olsun. f, a'da türevli ise f(a) mevcuttur. Bu durumda φ(x):={f(x)f(a)xa,xaf(a),x=a kuralı ile verilen φ:IR fonksiyonunu tanımlayabiliriz.

limxaφ(x)=φ(a)=f(a) olduğundan φ fonksiyonu a noktasında süreklidir.

x=a  ise  f(x)f(a)=0  ve  φ(x)(xa)=0  olup f(x)f(a)=φ(x)(xa) eşitliği sağlanır.

xa ise φ(x)=f(x)f(a)xa olup f(x)f(a)=φ(x)(xa) eşitliği sağlanır.

(): a  noktasında sürekli ve her xI  için  f(x)f(a)=φ(x)(xa)  eşitliğini sağlayan bir φ:IR fonksiyonunun mevcut olduğunu varsayalım.

xa0φ(x)=f(x)f(a)xa ve 

φ:IR fonksiyonu a noktasında sürekli olduğundan 

φ(a)=limxaφ(x)=limxaf(x)f(a)xa olup limit mevcuttur. O halde f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir ve f(a)=φ(a).

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,656,209 kullanıcı