iki alt kume ile grubu olusturmak

Question

$A$ ve $B$ bir $G$ grubunun alt kumesi olsun. Eger $|A|+|B|>|G|$ ise $AB=G$.

Burda mertebeler sinirli, bu bilgi gereksiz mi bilmiyorum ama, bazi kaynaklarda sonsuz icin de mertebe isaretleri alinabiliyor.

Bu ozellik bazi ispatlari kolaylastiriyor: http://matkafasi.com/1133/sonlu-bir-%24f%24-cismindeki-her-eleman-iki-kare-toplamidir Uygulamasi icin bu soruya bakabilirsiniz.

Comments

sınırlı yerine sonlu daha iyi.

$\vert G\vert$ sonsuz ise, sanırım $\vert A\vert +\vert B\vert>\vert G\vert$ mümkün değildir.

---

Ben kafamdakini Turkce'ye cevirirken hep yanlis ceviriyorum ama alisiyorum yavas yavas. Tesekkur ederim duzeltme icin.

Gerci mertebe icin sinirli demek yanlis oluyor mu, ondan da emin degilim.

---

$A$ ve $B$, $G$'nin altgrupları olduğundan, bu grupların mertebesi $G$'nin mertebesini bölmeli. Bu durumda $|A|+|B| > |G|$ ifadesi mümkün olmuyor sanki?

---

Altgrup degiller anladigim kadariyla.

---

Gerekmiyor, alt küme yeterli.

---

Genelde kümelerle çalışmıyoruz malum, dikkatimden kaçmış :)

Answer 1

Rastgele bir $g\in G$ için, $g=ab$ olacak şekilde $a\in A$ ve $b\in B$ olduğunu göstermemiz gerekiyor.

Şu kümeyi düşünelim; $gB^{-1}=\{gb^{-1}\mid b\in B\}$. 

Açık ki $|gB^{-1}|=|B|$. O halde varsayım gereği, 

$$\begin{equation} |A|+|gB^{-1}|>|G| \end{equation}$$

ifadesi sağlanır ki bu da $A\cap gB^{-1}$ kümesinin boş olamayacağını söyler. Nitekim ortak elemanların ikişer kere sayılmasıyla $G$ grubunun mertebesini aşabiliyoruz.

Şimdi bu kesişimden bir eleman alalım. Kesişime giren kümelerin özelliği gereği bu elemanı bir $b\in B$ için,

$$\begin{equation} a=gb^{-1}\in A \end{equation}$$

olarak göstermeye hakkımız var.

Son olarak, 

$$\begin{equation} ab=gb^{-1}b=g \end{equation}$$

eşitliğini elde ederiz ki bu da aradığımız şey.

Comments

Nizami ve eksiksiz bir cozum. Tesekkurler.

Answer 2

$g\in G$ olsun. Eleman sayıları üzerindeki koşuldan dolayı $A^{-1}g \cap B \neq \emptyset$ olmalı. Buradan da $g\in AB$ çıkar.

Comments

Nsky'nin çözümünü gene görmemişim. Pardon. Aynı çözüm.