ln fonksiyonunun sonsuza gitme durumu

0 beğenilme 0 beğenilmeme
765 kez görüntülendi

$\ln 0^{+}$ için $ \infty$ demiş kitaptaki çözümlü örnek ama anlayamadım, açıklayabilir misiniz?

e üzeri hangi değer 0'a yakınsayan bir sonuç verebilir ki?

24, Mart, 24 Orta Öğretim Matematik kategorisinde orsiamelzay (112 puan) tarafından  soruldu
27, Mart, 27 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
$ln$ fonksiyonunun grafiğini incelediniz mi ?

$e^{-100},\ e^{-1000},\ e^{-10000},\ldots$ sayılarını düşün.

$\displaystyle\ln 0^+=\lim_{x\to0^+}\ln x$ anlamında olmak üzere:

$\displaystyle\ln 0^+=-\infty$ dense daha iyi olur.

Öncelikle şu tanımı hatırlayalım:

$A\subseteq\mathbb{R}, \ f\in \mathbb{R}^A$  ve  $a\in D(A\cap (a,\infty))$ olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(0<x-a<\delta\Rightarrow f(x)<\alpha)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(a<x<a+\delta\Rightarrow f(x)<\alpha)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(x\in (a,a+\delta)\Rightarrow f(x)<\alpha)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f(x)\in f[(a,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (-\infty,\alpha))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f[(a,a+\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha))$$

Bu tanımı kullanarak $$\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$$ olduğunu göstermeye çalış. Tıkandığın noktada yine destek oluruz.

evet grafiği hiç aklıma getirmemiştim siz söylemeden önce :)

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$$f(x)=\ln x$$ kuralı ile verilen $$f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alalım. Tanımda verdiğimiz $A$ kümesi yerine $(0,\infty)$ kümesi ve $a$ noktası yerine de $0$ noktası gelmiş. $$D(\underset{A}{\underbrace{(0,\infty)}}\cap \underset{(a,\infty)}{\underbrace{(0,\infty)}})=D((0,\infty))=[0,\infty)$$  ve  $$0\in [0,\infty)$$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=?$$ sorusu anlamlı bir sorudur. Şimdi 

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f[(0,0+\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha))$$ önermesinin yani (daha sade bir şekilde)

$$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f[(0,\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha))$$

önermesinin doğru olup olmadığını araştırabiliriz. $f(x)=\ln x$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu bijektif ve artan bir fonksiyon olduğundan $$f[(0,\delta)]=(-\infty,\ln \delta)$$ olur. Soru şimdi 

$$f[(0,\delta)]=(-\infty,\ln \delta)\subseteq (-\infty,\alpha)$$ olması için  $\ln\delta$  ile  $\alpha$ arasında nasıl bir ilişki olmalıdır sorusuna dönüştü. $$(-\infty,\ln \delta)\subseteq (-\infty,\alpha)$$ koşulunun sağlanması için de $$\ln\delta \leq\alpha$$ yani $$\delta\leq e^\alpha$$ olması gerektiğini görmek zor olmasa gerek. Tüm bu bilgiler ışığı altında artık şunu söyleyebiliriz:

Her $\alpha\in\mathbb{R}$ için $0<\delta\leq e^{\alpha}$ seçilirse

$$f[(0,\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha)$$ koşulu sağlanır. Bu da $$(\forall \alpha\in\mathbb{R})(\exists\delta>0)(f[(0,0+\delta)]\subseteq (-\infty,\alpha))$$ önermesinin doğru olması yani $$\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$$ olması demektir.

27, Mart, 27 murad.ozkoc (8,874 puan) tarafından  cevaplandı
28, Mart, 28 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

ilk başta terimler çok korkunç geldi ama sindire sindire sonuna geldikçe çok iyi kavramamı sağladı, teşekkürler hocam 

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ olduğunu gösterebiliyorsak (veya kabul edersek) bu limiti şöyle bulabiliriz:
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=\lim_{t\to+\infty}\ln\frac1t=\lim_{t\to+\infty}(-\ln t)=-\lim_{t\to+\infty}\ln t=-\infty$
olur.
29, Mart, 29 DoganDonmez (3,601 puan) tarafından  cevaplandı

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=\lim_{t\to+\infty}\ln\frac1t$ olduğunu da kabul edersek (veya bir şekilde gösterebilirsek)

teşekkür ederim hocam

...