$2\sin^2x + 2\sin x\cos x - 2\cos^2x = 1$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığında kaç kökü vardır?

Question

$2sin^2x$ + 2sinxcosx - $2cos^2x$ = 1 denkleminin [0, 2π] aralığında kaç kökü vardır? Cevap 4

Denediğim Yöntemler: İki tarafı da $sin^2x$ ve $cos^2x$ 'e bölmek.

Comments

1'i sol tarafa $sin^2x+cos^2x$ şeklinde attıktan sonra sanırım çarpanlara ayılabilir bir denklem oluşuyor.

---

$2sin^2x-2cos^2x$=$-2cos2x$ olarak düzenlenebilir

---

Veya bunlara takılmadan 1'i $sin^2x+cos^2x$ olarak yazmak lazım düzenledikten sonra da $cos^2x$'e bölünebilir.

Answer 1

Verilen eşitliğin her iki tarafını $Cosx\neq0$ olmak koşulu ile $cosx$ ile bölelim.

$$2tan^2x+2tanx-2=Sec^2x$$

$$2tan^2x+2tanx-2=1+tan^2x$$

$$tan^2x+2tanx-3=0$$

$$(tanx+3)(tanx-1)=0$$

Buradan $$tanx=-3,\quad tanx=1$$ denklemleri çözülür.

$$tanx=tan\alpha=-3$$ ise $$x=\alpha\pm\pi k,k\in Z$$

ve $$x=\frac{\pi}{4}\pm \pi.k$$ kökleri bulunur.