$x,y\in\mathbb{Z}\text{ ve } n\in\mathbb{Z^+}$ için $$|x|+|y|\leq n$$ eşitsizliğinin $n^2+(n+1)^2$ tane çözümü olduğunu ispatlayınız.

Question

Teorem: $x,y\in\mathbb{Z}\text{ ve } n\in\mathbb{Z^+}$ olmak üzere, $$|x|+|y|\leq n$$ eşitsizliğinin $n^2+(n+1)^2$ tane çözümü vardır, aynı şekilde $r\in\mathbb{Z^+}$ için $$|x|+|y|<r$$ eşitsizliğinin $r^2+(r-1)^2$ tane çözümü vardır. Tümevarım ile ispatlayınız...

Comments

Sitede bu (-nun gibi bir) soru vardi gibi sanki. Murad'la ben de bir seyler yazmistik diye hatirliyorum.

---

Bir iki tane soru vardı, formüller de verilmişti ama ispat sorusu değildi onlar galiba.

Answer 1

$x,y \in Z$  ve  $r \in Z^+$  olmak üzere

$|x|+|y|<r$  eşitsizliğini  sağlayan

$r^2+(r-1)^2$  tane  $(x,y)$  ikilisi  vardır.

$x=r-1$  için

$(r-1)+|y|<r$  ise  $|y|<1$  ise  $-1<y<1$  ise  $y=0$ (1 tane)

$x=r-2$  için

$(r-2)+|y|<r$  ise  $|y|<2$  ise  $-2<y<2$  ise  $y=-1,0,1$ (3 tane)

$x=r-3$  için

$(r-3)+|y|<r$  ise  $|y|<3$  ise  $-3<y<3$  ise  $y=-2,-1,0,1,2$ (5 tane)

   $\vdots$

$x=-1$  için

$1+|y|<r$  ise  $|y|<r-1$  ise  $-(r-1)<y<r-1$  ise  $y=...$ [2(r-1)-1 tane]

$x=0$  için

$0+|y|<r$  ise  $|y|<r$  ise  $-r<y<r$  ise  $y=-r+1,...,r-1$ (2r-1 tane)

$x=1$  için

$1+|y|<r$  ise  $|y|<r-1$  ise  $-(r-1)<y<r-1$  ise  $y=...$ [2(r-1)-1 tane]

  

 $\vdots$

$x=-(r-2)$  için

$(r-2)+|y|<r$  ise  $|y|<2$  ise  $-2<y<2$  ise  $y=-1,0,1$ (3 tane)

$x=-(r-1)$  için

$(r-1)+|y|<r$  ise  $|y|<1$  ise  $-1<y<1$  ise  $y=0$ (1 tane)

Sonuç  olarak:

$\underbrace{1+3+5+ \dots+(2(r-1)-1)+(2r-1)}_{ r^2}$+$\underbrace{(2(r-1)-1)+ \dots+3+1}_{(r-1)^2}$

$r^2+(r-1)^2$  tane  $(x,y)$  ikilisi  vardır.

Comments

Güzel olmuş, eline sağlık.

---

Teşekkürler.Sağ ol.

---

@YsnA yaklaşım güzel. $x$ verilen değerler $r-1$ den başlayıp $-(r-1=-r+1$ de bitiyor,fakat arada sıralamada hata olmuş sanki. Elinize sağlık.

---

$x=-1$  ile  $x=1$ i  ters yazmışım.Teşekkürler.

Answer 2

Geometrik (?) bir ispat olarak:

Sifiri disa alalim ve her bolgeye bir yonlu eksen katalim. Bu sekilde dort adet ucgenimsi elde ederiz ve bolgelerdeki nokta sayisi  $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$ olur. Dolayisi ile istenen $$1+4\cdot \frac{n(n+1)}{2}=1+2n(n+1)=2n^2+2n+1=n^2+(n+1)^2$$ olur.

Comments

temiz olmuş baya.

---

Biri sekil eklese aslinda daha temiz olacak... Ben de dusunem bi, bu sekli nasil kolay yapabilirim diye...

Answer 3

$n=1$ için $|x|+|y|\leq 1$ eşitsizliğinin çözümleri $\{(\pm1,0),(0,\pm1),(0,0)$ olup $5$ tanedir. $1^2+2^2=5$ olduğundan dayanak adımı doğrudur.

$n=k$ için $|x|+|y|\leq k$ eşitsizliğinin çözümlerinin $\color{green}{k^2+(k+1)^2}$ tane olduğunu kabul edelim, 

O halde $n=k+1$ için de verilen formül doğru olmalıdır, $|x|+|y|\leq (k+1)$ ifadesinin çözümlerinin sayısının $\color{red}{(k+1)^2+(k+2)^2}$ olduğunu gösterelim, $|x|+|y|=(k+1)$ ifadesinin çözümlerinin sayısı $\color{blue}{4(k+2-2)+4}$ tanedir. Kabulümüz kullanılarak toplam çözüm sayısına ulaşılır; $$\color{green}{k^2+(k+1)^2}+\color{blue}{4k+4}=(k^2+4k+4)+(k+1)^2=\color{red}{(k+1)^2+(k+2)^2}$$ $\text{Q.E.D}$