x,y∈Z ve
r∈Z+ olmak üzere
|x|+|y|<r eşitsizliğini sağlayan
r2+(r−1)2 tane (x,y) ikilisi vardır.
x=r−1 için
(r−1)+|y|<r ise |y|<1 ise −1<y<1 ise y=0 (1 tane)
x=r−2 için
(r−2)+|y|<r ise |y|<2 ise −2<y<2 ise y=−1,0,1 (3 tane)
x=r−3 için
(r−3)+|y|<r ise |y|<3 ise −3<y<3 ise y=−2,−1,0,1,2 (5 tane)
⋮
x=−1 için
1+|y|<r ise |y|<r−1 ise −(r−1)<y<r−1 ise y=... [2(r-1)-1 tane]
x=0 için
0+|y|<r ise |y|<r ise −r<y<r ise y=−r+1,...,r−1 (2r-1 tane)
x=1 için
1+|y|<r ise |y|<r−1 ise −(r−1)<y<r−1 ise y=... [2(r-1)-1 tane]
⋮
x=−(r−2) için
(r−2)+|y|<r ise |y|<2 ise −2<y<2 ise y=−1,0,1 (3 tane)
x=−(r−1) için
(r−1)+|y|<r ise |y|<1 ise −1<y<1 ise y=0 (1 tane)
Sonuç olarak:
1+3+5+⋯+(2(r−1)−1)+(2r−1)⏟r2+(2(r−1)−1)+⋯+3+1⏟(r−1)2
r2+(r−1)2 tane (x,y) ikilisi vardır.