Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.5k kez görüntülendi
Teorem: x,yZ ve nZ+ olmak üzere, |x|+|y|n eşitsizliğinin n2+(n+1)2 tane çözümü vardır, aynı şekilde rZ+ için |x|+|y|<r eşitsizliğinin r2+(r1)2 tane çözümü vardır. Tümevarım ile ispatlayınız...
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (895 puan) tarafından  | 2.5k kez görüntülendi

Sitede bu (-nun gibi bir) soru vardi gibi sanki. Murad'la ben de bir seyler yazmistik diye hatirliyorum.

Bir iki tane soru vardı, formüller de verilmişti ama ispat sorusu değildi onlar galiba.

3 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
x,yZ  ve  rZ+  olmak üzere
|x|+|y|<r  eşitsizliğini  sağlayan
r2+(r1)2  tane  (x,y)  ikilisi  vardır.

x=r1  için
(r1)+|y|<r  ise  |y|<1  ise  1<y<1  ise  y=0 (1 tane)

x=r2  için
(r2)+|y|<r  ise  |y|<2  ise  2<y<2  ise  y=1,0,1 (3 tane)

x=r3  için
(r3)+|y|<r  ise  |y|<3  ise  3<y<3  ise  y=2,1,0,1,2 (5 tane)


   


x=1  için
1+|y|<r  ise  |y|<r1  ise  (r1)<y<r1  ise  y=... [2(r-1)-1 tane]

x=0  için
0+|y|<r  ise  |y|<r  ise  r<y<r  ise  y=r+1,...,r1 (2r-1 tane)

x=1  için
1+|y|<r  ise  |y|<r1  ise  (r1)<y<r1  ise  y=... [2(r-1)-1 tane]

  
 


x=(r2)  için
(r2)+|y|<r  ise  |y|<2  ise  2<y<2  ise  y=1,0,1 (3 tane)

x=(r1)  için
(r1)+|y|<r  ise  |y|<1  ise  1<y<1  ise  y=0 (1 tane)

Sonuç  olarak:

1+3+5++(2(r1)1)+(2r1)r2+(2(r1)1)++3+1(r1)2

r2+(r1)2  tane  (x,y)  ikilisi  vardır.

(594 puan) tarafından 

Güzel olmuş, eline sağlık.

Teşekkürler.Sağ ol.

@YsnA yaklaşım güzel. x verilen değerler r1 den başlayıp (r1=r+1 de bitiyor,fakat arada sıralamada hata olmuş sanki. Elinize sağlık.

x=1  ile  x=1 i  ters yazmışım.Teşekkürler.
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Geometrik (?) bir ispat olarak:

Sifiri disa alalim ve her bolgeye bir yonlu eksen katalim. Bu sekilde dort adet ucgenimsi elde ederiz ve bolgelerdeki nokta sayisi 1+2++n=n(n+1)2 olur. Dolayisi ile istenen 1+4n(n+1)2=1+2n(n+1)=2n2+2n+1=n2+(n+1)2 olur.

(25.6k puan) tarafından 
temiz olmuş baya.

Biri sekil eklese aslinda daha temiz olacak... Ben de dusunem bi, bu sekli nasil kolay yapabilirim diye...

1 beğenilme 0 beğenilmeme

n=1 için |x|+|y|1 eşitsizliğinin çözümleri {(±1,0),(0,±1),(0,0) olup 5 tanedir. 12+22=5 olduğundan dayanak adımı doğrudur.

n=k için |x|+|y|k eşitsizliğinin çözümlerinin k2+(k+1)2 tane olduğunu kabul edelim, 

O halde n=k+1 için de verilen formül doğru olmalıdır, |x|+|y|(k+1) ifadesinin çözümlerinin sayısının (k+1)2+(k+2)2 olduğunu gösterelim, |x|+|y|=(k+1) ifadesinin çözümlerinin sayısı 4(k+22)+4 tanedir. Kabulümüz kullanılarak toplam çözüm sayısına ulaşılır; k2+(k+1)2+4k+4=(k2+4k+4)+(k+1)2=(k+1)2+(k+2)2 Q.E.D

(895 puan) tarafından 
20,308 soru
21,857 cevap
73,578 yorum
2,810,601 kullanıcı