Doğru Demetinin Karekterizasyonu

2 beğenilme 0 beğenilmeme
744 kez görüntülendi

Birbirine paralel olmayan $$a_1x+b_1y+c_1=0$$  $$a_2x+b_2y+c_2=0$$  doğruları verilsin. Bu doğruların kesim noktasından geçen doğruları (doğru demeti) karekterize ediniz.

Birçok kaynakta kanıtsız olan verilen karekterizasyonu kanıtlamak istiyoruz.

12, Aralık, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde alpercay (1,178 puan) tarafından  soruldu

Aslinda soruyu direkt suna indirgeyebiliriz: Verilen $(a,b)$ noktasindan gecen dogru demetlerini bulunuz.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

1.Yol

Dogrularin gectigi sabit nokta  $(x_0,y_0)$ olsun.  Her $k_1$  ve  $k_2$ parametresi  için

$k_1(a_1x_0+b_1y_0+c_1)=0$     ve      $k_2(a_2x_0+b_2y_0+c_2)=0$

yazılabilir. Bu denklemleri toplarsak $$k_1(a_1x_0+b_1y_0+c_1)+k_2(a_2x_0+b_2y_0+c_2)=0$$ eşitliğini elde ederiz. Dolayisiyla parametreler degistikce bu sabit noktadan gecen farkli dogrular elde ederiz. Bu denkleme demetin "Genel denklemi" diyebiliriz.  $\dfrac{k_2}{k_1}=m$  dersek $$a_1x_0+b_1y_0+c_1+m(a_2x_0+b_2y_0+c_2)=0$$ elde edilir. Burada $m$  parametresine vereceğimiz her değer için $(x_0,y_0)$   noktasından geçen bir doğru elde edililir. $m$  nin tanımından dolayı   $k_1\ne 0$   olduğundan bu doğru ailesi (doğru demeti)   $a_2x_0+b_2y_0+c_2=0$    doğrusunu içermez.

15, Aralık, 2017 alpercay (1,178 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

2.yol

Doğruların geçtiği sabit nokta $A(x_0,y_0)$   ve  bu noktadan geçen farklı iki doğru $d_1:a_1x+b_1y+c_1=0$    ve    $d_2:a_2x+b_2y+c_2=0$   olsun. Doğru demetini temsil eden bir $d$  doğrusu üzerindeki bir nokta $P(x,y)$ olsun. Doğruların normalleri sırasıyla $\vec{n_1}=(a_1,b_1), \vec{n_2}=(a_2,b_2)$  ve $\vec{n}$ olsun. $d$ doğrusunun doğrultman vektörü $\vec{AP}=(x-x_0,y-y_0)$ olur. $d_1$ ve $d_2$  doğruları paralel olmadığından $\vec{n_1}$ ve $\vec{n_2}$ vektörleri doğrusal bağımsız olup $\vec{n}$ vektörü bu vektörlerin doğrusal bileşimi olarak yazılabilir. O zaman $k_1$ ve $k_2$ parametreleri için  $$\vec{n}=k_1\vec n_1+k_2\vec n_2$$  yazılabilir. $A$ noktası doğruları sağlayacağından  $c_1=-(a_1x_0+b_1y_0)$ ve $c_2=-(a_2x_0+b_2y_0)$ oldugunu bir kenara yazalim. $\vec n$  dik $\vec {AP}$ oldugundan ic carpimlari $0$ dir. Yani $<\vec{AP},\vec n>=0$ olur. Bu ic carpim yapilirsa dogru demetinin denklemi bulunur.

21, Aralık, 2017 alpercay (1,178 puan) tarafından  cevaplandı
21, Aralık, 2017 alpercay tarafından düzenlendi
...