Doğru Demetinin Karekterizasyonu

Question

Birbirine paralel olmayan $$a_1x+b_1y+c_1=0$$   $$a_2x+b_2y+c_2=0$$   doğruları verilsin. Bu doğruların kesim noktasından geçen doğruları (doğru demeti) karekterize ediniz.

Birçok kaynakta kanıtsız olan verilen karekterizasyonu kanıtlamak istiyoruz.

Comments

Bu soru ile ilgili

---

Aslinda soruyu direkt suna indirgeyebiliriz: Verilen $(a,b)$ noktasindan gecen dogru demetlerini bulunuz.

Answer 1

1.Yol

Dogrularin gectigi sabit nokta  $(x_0,y_0)$ olsun.  Her $k_1$  ve  $k_2$ parametresi  için

$k_1(a_1x_0+b_1y_0+c_1)=0$     ve      $k_2(a_2x_0+b_2y_0+c_2)=0$

yazılabilir. Bu denklemleri toplarsak $$k_1(a_1x_0+b_1y_0+c_1)+k_2(a_2x_0+b_2y_0+c_2)=0$$ eşitliğini elde ederiz. Dolayisiyla parametreler degistikce bu sabit noktadan gecen farkli dogrular elde ederiz. Bu denkleme demetin "Genel denklemi" diyebiliriz.  $\dfrac{k_2}{k_1}=m$  dersek $$a_1x_0+b_1y_0+c_1+m(a_2x_0+b_2y_0+c_2)=0$$ elde edilir. Burada $m$  parametresine vereceğimiz her değer için $(x_0,y_0)$   noktasından geçen bir doğru elde edililir. $m$  nin tanımından dolayı   $k_1\ne 0$   olduğundan bu doğru ailesi (doğru demeti)   $a_2x_0+b_2y_0+c_2=0$    doğrusunu içermez.

Answer 2

2.yol

Doğruların geçtiği sabit nokta $A(x_0,y_0)$   ve  bu noktadan geçen farklı iki doğru $d_1:a_1x+b_1y+c_1=0$    ve    $d_2:a_2x+b_2y+c_2=0$   olsun. Doğru demetini temsil eden bir $d$  doğrusu üzerindeki bir nokta $P(x,y)$ olsun. Doğruların normalleri sırasıyla $\vec{n_1}=(a_1,b_1), \vec{n_2}=(a_2,b_2)$  ve $\vec{n}$ olsun. $d$ doğrusunun doğrultman vektörü $\vec{AP}=(x-x_0,y-y_0)$ olur. $d_1$ ve $d_2$  doğruları paralel olmadığından $\vec{n_1}$ ve $\vec{n_2}$ vektörleri doğrusal bağımsız olup $\vec{n}$ vektörü bu vektörlerin doğrusal bileşimi olarak yazılabilir. O zaman $k_1$ ve $k_2$ parametreleri için  $$\vec{n}=k_1\vec n_1+k_2\vec n_2$$   yazılabilir. $A$ noktası doğruları sağlayacağından  $c_1=-(a_1x_0+b_1y_0)$ ve $c_2=-(a_2x_0+b_2y_0)$ oldugunu bir kenara yazalim. $\vec n$  dik $\vec {AP}$ oldugundan ic carpimlari $0$ dir. Yani $<\vec{AP},\vec n>=0$ olur. Bu ic carpim yapilirsa dogru demetinin denklemi bulunur.