Genel terimi $a_n=\frac{2n+1}{3n-2}$ olan dizinin $\frac23$ sayısına yakınsadığını gösteriniz.

Question

$a_n=\frac{2n+1}{3n-2}$ dizisinin 2/3 sayısına yakınsadığını gösteriniz.

$|a_n- \frac23|<\epsilon$ olarak alinmis, nedenini anlayamadim. 

(Bu arada konuyu mat191 dersinde isliyoruz sadece bu yil gorecegim bi ders, konudan bir ornek cozup gectik o da bu sadece. Ama bunun mantigini anlamaya calisiyorum.)

En basit sekilde nasil ifade edebiliriz? Simdiden tesekkur ediyorum

Comments

Dizilerde limitin tanimi nedir? Yani $$\lim a_n=L$$ demek icin tanim ne olmali/nedir?

---

Hocam dizinin terimlerinin yaklastigi deger L dir

---

$\epsilon$'lu tanimi... 

---

Her $\epsilon$>0 sayısı için $(an)$ dizisinin hemen hemen her terimi a'nin $\epsilon$ komşuluğunda bulunuyorsa (an) dizisi a sayisina yakinsiyordur.

Bu sekilde yazmisim hocam burada neden 'hemen hemen her terim' deniyor 

---

Verilen $\epsilon>0$ icin oyle bir $N=\cdots$ vardir ki $$n>N$$ ise $$|a_n-L|=\cdots <\epsilon$$ saglanir. 

Sema olarak bu... Senin yapman gereken $\cdots$ kisimlarini doldurmak...

---

Belki böyle bir yaklaşımda düşünülebilir.

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n-2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(2+1/n)}{n(3-2/n)}=\frac 23$

Answer 1

Verilen $\epsilon>0$ icin oyle bir $N=\cdots$ vardir ki $$n>N$$ ise $$|a_n-L|=\cdots <\epsilon$$ saglanir. 

Sema olarak bu... Yapmamız gereken gereken $\cdots$ kisimlarini doldurmak...

______________________________

Verilen $\epsilon>0$ icin oyle bir $N=\cdots$ vardir ki $$n>N$$ ise $$|a_n-L|=\left|\frac{2n+1}{3n-2}-\frac23\right|=\frac{7}{3} \frac{1}{|3n-2|}=\cdots <\epsilon$$ saglanir. 

________________________

Basitlestirmek icin $n\ge 1$ icin  $|3n-2|=3n-2 \ge n$ bilgisini kullanalim: (Bu esitsizligi ispatlamak da aslinda onemli. Tumevarim kullanilabilir fakat basit yontemlerle nasil gosterebiliriz. Asagida ispatini verecegim. Bakmadan siz bulmaya calisiniz.)

Verilen $\epsilon>0$ icin oyle bir $N=\cdots$ vardir ki $$n>N$$ ise $$|a_n-L|=\left|\frac{2n+1}{3n-2}-\frac23\right|=\frac{7}{3} \frac{1}{|3n-2|}\le \frac{7}{3n}<^{?}\epsilon$$ saglanir. 

________________________

Artik ikinci $\cdots$ kadirilabilir ve bunu kaldirabilmek icin ilk $\cdots$ degerini bulmal gerekli. Istedigimiz $$ \frac{7}{3n}<\epsilon$$ olmasi... 

Eger biz $$N=\frac{7}{3\epsilon}$$ olarak secersek  $$n>N \implies  n > \frac{7}{3\epsilon} \implies  \frac{7}{3n}<\epsilon$$ saglanir. Tam da istedigimiz...

_______________

Son olarak yazarsak: 

"""" Verilen $\epsilon>0$ icin oyle bir $N=\frac{7}{3\epsilon}$ (gercel sayisi) var(dir) ki $$n>N$$ ise $$|a_n-L|=\left|\frac{2n+1}{3n-2}-\frac23\right|=\frac{7}{3} \frac{1}{|3n-2|}\le \frac{7}{3n}<\epsilon$$ saglanir.  """""

____________

Bu son kisim da bizden istenen ispat...







_____________________


Icerikte gecen bir bilginin ispati: $n\ge 1$ ise $n-1 \ge 0$ ve dolayisiyla $2(n-1)=2n-2 \ge 0$ olur. $n$ ile otelersek $3n-2\ge n$ olur.

Comments

ispat burada bitiyor eğer şu basit lemmayı düşünürsek;

---

Su sonuna $\epsilon$ keyfiyi her yere yazmalarini anlamiyorum. Anlasilir kilmaya calisiyorlar herhalde. $\epsilon$'un zaten pozitif keyfi oldugunu $\epsilon>0$ deyince anliyoruz. Sonunda buna keyfi dersen $|x_n-x|<\epsilon$ icin $\epsilon$ keyfi anliyorum. Demek ki $x_n=x$ olmali gibi oluyor.

Bunu limitin biricikliginde kullaninca tamam: $|L-M|<\epsilon$ elde edip $\epsilon$ keyfi oldugundan $L=M$ deriz. 

Ingilizcem ya da dil bilgim yetmiyor olabilir...

---

Listen mp3 "Öldürdün beni benii since $\epsilon$ is arbitrari"

Answer 2

Bize verilecek olan her $\epsilon>0$ için  öyle bir $N=N(\epsilon)$ vardır ki $n\geq N(\epsilon)$ iken $|a_n-L|<\epsilon$ dır. O zaman $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$ dir diyebiliriz.

Burada $a_n=\frac {2n+1}{3n-2}$, $L=\frac 23$ olduğu için , verilen bir $\epsilon>0$ için $|\frac {2n+1}{3n-2}-\frac 23|<\epsilon  \Rightarrow |\frac{6n+3-6n+4}{9n-6}|<\epsilon \Rightarrow |\frac{6n+3-6n+4}{9n-6}|<\epsilon \Rightarrow |\frac{7}{9n-6}|<\epsilon \Rightarrow |9n-6|>\frac 7\epsilon$  $n\geq1$ olduğu için $9n-6>0$ ve dolayısıyla $n>\frac{7+6\epsilon}{9\epsilon}=N(\epsilon)$ olacaktır.   Örneğin $\epsilon=\frac{1}{18}$  alınırsa $N(\epsilon)=15$ alınabilir.

Comments

Tesekkurler hocam

---

Bu cevapta sıklıkla yapılan bır hata var. (Link) Bu soruda bunu vurgulamak istemiştim. 

---

Çözüm güzel ama şu noktasına itiraz etmeliyiz:

$N(\epsilon)=\frac{7+6\epsilon}{9\epsilon}$ aldığımızda $|a_n-\frac23|<\epsilon$ olduğunun ispatı (yazılanlarda) yok.

Şöyle yapılsaydı daha iyi olurdu:

$|\frac {2n+1}{3n-2}-\frac 23|<\epsilon  \Leftrightarrow |\frac{6n+3-6n+4}{9n-6}|<\epsilon \Leftrightarrow |\frac{7}{9n-6}|<\epsilon \Leftrightarrow|9n-6|>\frac 7\epsilon$

Böyle yazıldığında:

 $N(\epsilon)=\frac{7+6\epsilon}{9\epsilon}$ aldığımızda 

 $n>N(\epsilon)$ olduğunda, önce $|9n-6|>\frac 7\epsilon$ olacağını ve daha sonra da okları sağdan sola doğru izleyerek) $|a_n-\frac23|<\epsilon$ olacağını görebiliyoruz.

Ek: 

Çözümde, soldan sağa doğru olan oklar değil sağdan sola doğru olanlar gerekli (doğru ama yazılmamıştı)

Sercan da benim belirttiğim şekilde yapmış.