sadece rasyonel sayılarda süreksiz fonksiyon geriye kalan irrasyonel sayılarda sürekli fonksiyon örneği

0 beğenilme 0 beğenilmeme
594 kez görüntülendi

[0 , 1] aralığında sadece rasyonel sayılarda süreksiz geriye kalan irrasyonel sayılarda 

sürekli bir fonksiyon örneği bulunuz.

2, Kasım, 2017 Lisans Matematik kategorisinde tugbagulec (14 puan) tarafından  soruldu

Merhaba tugbagulec, sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

İpucu: $$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x\in (0,1)\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \\ \frac1q & , & \left(x=\frac pq\in (0,1)\cap \mathbb{Q}\right)(p,q\in\mathbb{Z})(q\neq 0)((p,q)=1) \end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunu düşün.

<p> Çok teşekkür ederimm cevapladıgınız için
</p>

@tugbagulec, murad'in verdigi ornek istenilen sartta neden olsun ki? Soyle bir bakinca pek inanasi gelmiyor insanin. Bence bir ispat gerekli, eger oyle ise tabii...

<p> Hayir ispata gerek yok ornek bizim icin yeterli bi cevap olacaktir diye dusunuyorum @sercan
</p>

Bence Sercan haklı. Bir de bu fonksiyonun irrasyonellerde sürekli ve rasyonellerde de süreksiz olduğunun gösterilmesi lazım. Bu kısmı @tugbagulec'e bıraktım. Uğraşmanı tavsiye ederim. Çok kolay değil ama çok zor da değil.

$$a\in (0,1)\cap(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\Rightarrow \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$$ olduğunu kanıtlamaya çalış.

Soru da belirtildiği gibi [0,1] kapalı aralığında böyle bir fonksiyon tanımlamak mümkün müdür ? Mümkünse nasıl olur ?

...