$\mathbb{R}^n$ ile $\mathbb{E}^n$ arasındaki fark

Question

Analitik geometri derslerinde afin uzayları üzerine bir iç çarpım uzayı tanımlanınca oklid uzay olduğunu hatırlıyorum fakat tam olarak $\mathbb{R}^n$ ve $\mathbb{E}^n$ kavramlarını bir türlü ayırt edemedim aralarında ne gibi bir fark var bu iki uzayın elemanlarını nasıl tarif edebiliriz 

Answer 1

$A$,  $V$  vektör uzayı ile birleşen afin uzay olmak üzere vektör uzayı üzerinde bir Öklid iç çarpımı varsa afin uzaya "Öklid Uzay" denir. Burada $A$  afin uzay bir nokta kümesidir ve afin uzay aksiyomları nokta vektör eşlemesi ve vektör toplamına hizmet eder. $A=\mathbb{R}^n$,  $V=\mathbb{R}^n$ alıp bir $<,>$  Öklid iç çarpımı tanımladığınızda $(\mathbb{R}^n,<,>)=\mathbb{E}^n$  bir n-boyutlu Öklid uzayı olur. Yani $\mathbb{R}^n$  vektör uzayını noktalar olarak görebilirsiniz. $\mathbb{E}^n$  Öklid uzayı ise üzerinde bir metrik tanımladığınız için metrik özelliklere(uzaklık,norm gibi) sahip olur.

Comments

Buradan yola çıkarak  $\mathbb{R}^n$ uzayında geometrik ifadelerden söz edemeyiz dersem ifadem yanlış olur mu acaba?

---

Yani uzayda bir metrik tanımlı değilse(metrik uzay değilse) uzaklık,vektörlerin boyları ve aralarındaki açılar vs. gibi metrik özellikleri ölçemezsiniz eğer geometrik ifadeden kastınız buysa.

---

Demek istediğim şu ben bir çember yada doğruyu R^2 demi yoksa E^2 uzayında mı çiziyorum. Sonuçta R^2 de metrik tanımlarsam öklif uzayı oluyor dolayısıyla R^2 nin elemanları sadece noktalardan oluşuyor. Halbuki öklid uzayında metrik olduğu için açı vb özellikleri iç carpım yardımıyla tanımlayabiliyoruz.

---

Çember: Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir.

Bu tanıma göre sadece düzlemi ($\mathbb R^2 $ kümesini) değil, bunun yanında bir de uzaklık kavramını kullanmış oluyorsunuz. Dolayısıyla, aslında bildiğimiz klasik çemberi $\mathbb E^2$ de çizmiş oluyorsunuz.

 

Fakat lise matematik öğretiminde, bu tür detaylara girmek pedagojiye uygun değildir. Öğrenci de alışılmış uzaklık kavramından başka bir uzaklık kavramı bilmediği için $\mathbb R^2$ ile iki boyutlu Euclid uzayı kastedilir. Öğrenci biliyorsa bile, aksi belirtilmedikçe $\mathbb R^2$ de uzaklıktan bahsedilirken Euclid uzaklığından bahsedildiği düşünülür.

 

22 yıl önce, matematik bölümü 1. sınıfta okurken bir hocamız 'İki boyutlu Euclid uzayı' tabirini kullandı. Biz de ilk kez duyduğumuz için 'Bununla ne demek isteniyor?' diye sorduk. Cevaben 'İki nokta arasında tanımlanan $d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2}$ uzaklık fonksiyonuyla beraber $\mathbb R^2$ uzayına iki boyutlu Euclid uzayı denir' dedi. Ben de o zamanki aklımda defterime şu notu düştüm: 'Bildiğimiz $\mathbb R^2$ ye iki boyutlu Euclid uzayı denir.' Zaten uzaklık başka türlü tanımlanmaz' diye düşündüğüm için böyle bir not yazmıştım. Sınıfımız ilerledikçe defterime düştüğüm bu notun tam olarak doğru olmadığını gördüm. Meğerse iki nokta arasında başka türlü uzaklıklar da tanımlanabiliyormuş. Bunu da anekdot olarak paylaşmak istedim.