$\mathbb{R}^2$ üzerinde tanımlı bir fonksiyonun tersini bulma

Question

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, f(x,y)=x.y$

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, f(x,y)=(x+y,x-y)$

Fonksiyonları birebir orten oldugu icin tersi vardır diyoruz fakat bir turlu bu ıkı fonksiyonun ters fonksiyonlarının tanımlandıgı alanı ve kuralını cıkaramadım simdiden yardımlarınız icin tesekkurler

Edit 1: Ayrıca bu iki fonksiyonun C^k sınıfından olup olmadığını nasıl anlayabiliriz.

Comments

Gerek olmasa da (genelini cozebilmek adina) Matris (Lineer Cebir)  biliyor musun? 

---

Anladığım kadarıyla siz iki fonksiyonun lineer olmasından faydalanıp matrislerden çözeceksiniz fakat bileşenler ya lineer değilse mesela e^x li bir ifade içeriyorsa

---

0) ilki zaten birebir degil. $6=2\cdot 3=1\cdot 6$

1) ikincisinde lineerlikten faydalanabiliriz. 

2) Lineerlige pek gerek yok fakat lineer olunca isler daha basit olur. Ters matrisi bulmamiz gerekli. 

3) Diyelim ki lineer degil. Tanimi kullanmak yeterli: $\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ uzerinde birebir bir fonksiyon dusunursek $$F(a(x,y),b(x,y))=(x,y)$$ verecek  $F$ fonksiyonunu bulacagiz.  Ornek uzerinden daha iyi anlasilir bence. 

_____

$C^k$ dedigin turev ile ilgili herhalde. ilki iki lineer fonksiyonun carpimi istedigin kadar turev alabilirsin. Ikincisi de $f(x)=ax$ gibi bir $f(X)=AX$ fonksiyonu. Zaten coklu tureve giderken matrisler uzerinden tanim veriliyor.  Genel hali icin de turev kurallarini deneyebilirsin zaten, ilkindeki gibi.

---

https://hizliresim.com/Qp7yzV

Ugrastıgım fonksiyon bu,

c^k sınıfı k. Mertebeye kadar türevini alabilme ve süreklilik sartı herhalde diferansiyellenebiir olduğunu her bir bileşen için diferansiyeli olduğunu göstermek gerekiyor.

---

Fonksiyonunuzu siteye aktarsanız iyi olur;bir süre sonra oradan silinir çünkü. Çözümü şöyle yapabilirsiniz: Bileşenler sırasıyla $y_1$, $y_2$  ve  $y_3$   olsun. O zaman $f^{-1}(y_1,y_2,y_3)=(x_1,x_2,x_3)$  olur. Burada yapmanız gereken $x_1,x_2,x_3$ bileşenlerini $y_1,y_2,y_3$  cinsinden yazmak. Bu arada $y_3=2x_2.e^{x^3}+x_3$  şeklinde verilmeli, orada yanlış verilmiş. İp ucu olarak $y_1-y_2-y_3=-x_3$  olacaktır.

---

Cevabınız çok isime yaradı teşekkür ederim. Ayrıca ilk önce siteye yüklemeye çalıştım resmi fakat bir türlü başaramadım. Ama birkez daha deniyebilirim

---

@Fatih, resimleri gerekmedikce eklememek gerekli. LaTex kodu zor degil, bir iki tane ogrenip sorunuz yazi olarak yazabilirsin. Ilerde makale yazarsan da isine yarar...