(n∈N={1,2,3,…} olmak üzere)
12k(k−1)<n≤12k(k+1) olacak şekilde tek bir k∈N vardır. (Bu k için)
g(n)=(n−12k(k−1),12k(k+1)−n+1) olsun.
∀n∈N için:
f(g(n))=12k(k−1)+n−12k(k−1)=n olur.
(x,y)∈N×N olsun:
k=x+y−1 olsun.
f(x,y)>12(x+y−1)(x+y−2) ve
f(x,y)≤12(x+y−1)(x+y−2)+x+y−1 olduğu için
12k(k−1)<f(x,y)≤12k(k+1) olur. Buradan da ∀(x,y)∈N×N için:
g(f(x,y))=g(12(x+y−1)(x+y−2)+x)=(12k(k−1)+x−12k(k−1),12k(k+1)+1−(12k(k−1)+x))=(x,k+1−x)=(x,y)
olur.
(k için doğrudan bir formül de bulunabilir, ikinci derece denklemler için kök formülünden,
k=⌈√8n+1−12⌉ olur. (⌈ ⌉: yukarıya yuvarlamak. Tam değer cinsinden: ⌈x⌉=−⌊−x⌋)