Gerek ve yeter koşul dendiğine göre kanıtı iki adımda yapacağız.
Gerek kısmı: |a+b|=|a|+|b|⇒ab≥0 olduğunu gösterelim. Bir koşullu önerme karşıt tersine denk olduğundan yani p⇒q≡q′⇒p′ olduğundan yani
(|a+b|=|a|+|b|⇒ab≥0)≡(ab<0⇒|a+b|≠|a|+|b|) olduğundan
|a+b|=|a|+|b|⇒ab≥0 olduğunu göstermek ile
ab<0⇒|a+b|≠|a|+|b| olduğunu göstermek aynıdır.
ab<0⇒[(a>0∧b<0)∨(a<0∧b>0)]
I. Durum: a>0∧b<0 olsun. Bu durumda da karşımıza iki tane durum çıkacaktır. Bunlar a>|b| ve a<|b| olması durumlarıdır.
-
a>0, b<0 ve a>|b| durumu:
a>0, b<0 ve a>|b|⇒|a+b|=a+b≠a−b=|a|+|b|
-
a>0, b<0 ve a<|b| durumu:
a>0, b<0 ve a<|b|⇒|a+b|=−a−b≠a−b=|a|+|b|
II. Durum: a<0∧b>0 olsun. Bu durumda da karşımıza iki tane durum çıkacaktır. Bunlar b>|a| ve b<|a| olması durumlarıdır.
-
a<0, b>0 ve b>|a| durumu:
a<0, b>0 ve b>|a|⇒|a+b|=a+b≠−a+b=|a|+|b|
-
a<0, b>0 ve b<|a| durumu:
a<0, b>0 ve b<|a|⇒|a+b|=−a−b≠−a+b=|a|+|b|
Tüm bu durum incelemelerinden de görüleceği üzere
ab<0⇒|a+b|≠|a|+|b| yani |a+b|=|a|+|b|⇒ab≥0 elde edilir.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Yeter Kısmı: ab≥0⇒|a+b|=|a|+|b| olduğunu gösterelim.
ab≥0⇒[(a≥0∧b≥0)∨(a≤0∧b≤0)]
I. Durum: a≥0∧b≥0 olsun.
a≥0∧b≥0⇒a+b≥0⇒|a+b|=a+ba≥0∧b≥0⇒(|a|=a)(|b|=b)⇒|a|+|b|=a+b}⇒|a+b|=|a|+|b|.
II. Durum: a≥0∧b≥0 olsun.
a≤0∧b≤0⇒a+b≤0⇒|a+b|=−(a+b)=−a−ba≤0∧b≤0⇒(|a|=−a)(|b|=−b)⇒|a|+|b|=−a−b}⇒|a+b|=|a|+|b|.