Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
825 kez görüntülendi

a,bR olmak üzere |a+b|=|a|+|b|ab0 olduğunu gösteriniz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 825 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu durumda dört durum söz konusudur.

1)|a+b|=|a|+|b|=a+ba0,b0,ab0 olacaktır.

2)|a+b|=|a|+|b|=a+ba<0,b0,ab0 olacaktır.

3)|a+b|=|a|+|b|=aba0,b<0,ab0 olacaktır. Son olarak

4)|a+b|=|a|+|b|=aba<0,b<0,ab0 olacaktır. Bu durumlardan 1. ve 4. de istenen sağlanmaktadır. Yani a,b sayılarının ikiside aynı işaretli ya da en az birisi sıfır iken gerektirme doğru olmaktır.


a.b0 durumunda şu dört durum söz konusudur.
a=b=0 ise |a+b|=|0|=0=0+0=|0|+|0|=|a|+|b|
a>0,b=0 ise |a+b|=|0+b|=|b|=|b|+0=|b|+|a|
a=0,b>0 ise |a+b|=|a+0|=|a|=|a|+0=|a|+|b|

a>0,b>0 ise |a+b|=a+b=|a|+|b| olur.

(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Sayın hocam bence kanıtta sorunlar var.

Evet.Bazı şeyler yanlış olmuş. Onları düzelttim. Yeni şekli ile varsa eksiklik ya da yanlışlık düzeltirim. İlginiz için teşekkürler.

Merhaba hocam 2 ve 3. |a|+|b| açılımına uyuyor ama |a+b| açılımına uymadığı için gerektirmeyi sağlamaz dedik değil mi?(kendim için netleştirmek için soruyorum)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Gerek ve yeter koşul dendiğine göre kanıtı iki adımda yapacağız.

Gerek kısmı: |a+b|=|a|+|b|ab0 olduğunu gösterelim. Bir koşullu önerme karşıt tersine denk olduğundan yani pqqp olduğundan yani

(|a+b|=|a|+|b|ab0)(ab<0|a+b||a|+|b|) olduğundan 

|a+b|=|a|+|b|ab0 olduğunu göstermek ile 

ab<0|a+b||a|+|b| olduğunu göstermek aynıdır.

ab<0[(a>0b<0)(a<0b>0)]

I. Durum: a>0b<0 olsun. Bu durumda da karşımıza iki tane durum çıkacaktır. Bunlar a>|b| ve a<|b| olması durumlarıdır.

  • a>0,  b<0  ve a>|b| durumu:

a>0,  b<0  ve a>|b||a+b|=a+bab=|a|+|b|

  • a>0,  b<0  ve a<|b| durumu:

a>0,  b<0  ve a<|b||a+b|=abab=|a|+|b|

II. Durum: a<0b>0 olsun. Bu durumda da karşımıza iki tane durum çıkacaktır. Bunlar b>|a| ve b<|a| olması durumlarıdır.

  • a<0,  b>0  ve b>|a| durumu: 

a<0,  b>0  ve b>|a||a+b|=a+ba+b=|a|+|b|

  • a<0,  b>0  ve b<|a| durumu:

a<0,  b>0  ve b<|a||a+b|=aba+b=|a|+|b|

Tüm bu durum incelemelerinden de görüleceği üzere

ab<0|a+b||a|+|b| yani |a+b|=|a|+|b|ab0 elde edilir.

Yeter Kısmı: ab0|a+b|=|a|+|b| olduğunu gösterelim.

ab0[(a0b0)(a0b0)]

I. Durum: a0b0 olsun.

a0b0a+b0|a+b|=a+ba0b0(|a|=a)(|b|=b)|a|+|b|=a+b}|a+b|=|a|+|b|.


II. Durum: a0b0 olsun.

a0b0a+b0|a+b|=(a+b)=aba0b0(|a|=a)(|b|=b)|a|+|b|=ab}|a+b|=|a|+|b|.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,305 soru
21,856 cevap
73,576 yorum
2,804,711 kullanıcı