Mutlak Değer Fonksiyonuna Dair-I

Question

$a,b\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$|a+b|=|a|+|b|\Leftrightarrow ab\geq 0$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Bu durumda dört durum söz konusudur.

$1) |a+b|=|a|+|b|=a+b \Rightarrow a\geq 0,b\geq 0,ab\geq0$ olacaktır.

$2) |a+b|=|a|+|b|=-a+b \Rightarrow a< 0,b\geq 0,ab\leq 0$ olacaktır.

$3) |a+b|=|a|+|b|=a-b \Rightarrow a\geq 0,b< 0,ab\leq 0$ olacaktır. Son olarak

$4) |a+b|=|a|+|b|=-a-b \Rightarrow a< 0,b<0, ab\geq 0$ olacaktır. Bu durumlardan 1. ve 4. de istenen sağlanmaktadır. Yani $a,b$ sayılarının ikiside aynı işaretli ya da en az birisi sıfır iken gerektirme doğru olmaktır.

$a.b\geq 0$ durumunda şu dört durum söz konusudur.

$a=b=0$ ise $|a+b|=|0|=0=0+0=|0|+|0|=|a|+|b|$

$a>0,b=0$ ise $|a+b|=|0+b|=|b|=|b|+0=|b|+|a|$

$a=0,b>0$ ise $|a+b|=|a+0|=|a|=|a|+0=|a|+|b|$

$a>0,b>0$ ise $|a+b|=a+b=|a|+|b|$ olur.

Comments

Sayın hocam bence kanıtta sorunlar var.

---

Evet.Bazı şeyler yanlış olmuş. Onları düzelttim. Yeni şekli ile varsa eksiklik ya da yanlışlık düzeltirim. İlginiz için teşekkürler.

---

Merhaba hocam $2$ ve $3$. $|a|+|b|$ açılımına uyuyor ama $|a+b|$ açılımına uymadığı için gerektirmeyi sağlamaz dedik değil mi?(kendim için netleştirmek için soruyorum)

Answer 2

Gerek ve yeter koşul dendiğine göre kanıtı iki adımda yapacağız.

Gerek kısmı: $|a+b|=|a|+|b|\Rightarrow ab\geq 0$ olduğunu gösterelim. Bir koşullu önerme karşıt tersine denk olduğundan yani $$p\Rightarrow q\equiv q'\Rightarrow p'$$ olduğundan yani

$$(|a+b|=|a|+|b|\Rightarrow ab\geq 0)\equiv ( ab< 0\Rightarrow |a+b|\neq |a|+|b|)$$ olduğundan 

$$|a+b|=|a|+|b|\Rightarrow ab\geq 0$$ olduğunu göstermek ile 

$$ab< 0\Rightarrow |a+b|\neq |a|+|b|$$ olduğunu göstermek aynıdır.

$ab<0\Rightarrow [(a>0\wedge b<0)\vee (a<0\wedge b>0)]$

I. Durum: $a>0\wedge b<0$ olsun. Bu durumda da karşımıza iki tane durum çıkacaktır. Bunlar $a>|b|$ ve $a<|b|$ olması durumlarıdır.

• $a>0,$  $b<0$  ve $a>|b|$ durumu:
  

$a>0,$  $b<0$  ve $a>|b|\Rightarrow |a+b|=a+b\neq a-b=|a|+|b|$

• $a>0,$  $b<0$  ve $a<|b|$ durumu:
  

$a>0,$  $b<0$  ve $a<|b|\Rightarrow |a+b|=-a-b\neq a-b=|a|+|b|$

II. Durum: $a<0\wedge b>0$ olsun. Bu durumda da karşımıza iki tane durum çıkacaktır. Bunlar $b>|a|$ ve $b<|a|$ olması durumlarıdır.

• $a<0,$  $b>0$  ve $b>|a|$ durumu: 
  

$a<0,$  $b>0$  ve $b>|a|\Rightarrow |a+b|=a+b\neq -a+b=|a|+|b|$

• $a<0,$  $b>0$  ve $b<|a|$ durumu:
  

$a<0,$  $b>0$  ve $b<|a|\Rightarrow |a+b|=-a-b\neq -a+b=|a|+|b|$

Tüm bu durum incelemelerinden de görüleceği üzere

$$ab< 0\Rightarrow |a+b|\neq |a|+|b|$$  yani $$|a+b|=|a|+|b|\Rightarrow ab\geq 0$$ elde edilir.

$$-----------------------------------$$

Yeter Kısmı: $ab\geq 0\Rightarrow |a+b|=|a|+|b|$ olduğunu gösterelim.

$$ab\geq 0\Rightarrow [(a\geq 0\wedge b\geq 0)\vee (a\leq 0\wedge b\leq 0)]$$

I. Durum: $a\geq 0\wedge b\geq 0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} a\geq 0\wedge b\geq 0\Rightarrow a+b\geq 0\Rightarrow |a+b|=a+b\\ \\a\geq 0\wedge b\geq 0\Rightarrow (|a|=a)(|b|=b)\Rightarrow |a|+|b|=a+b\end{array}\right\}\Rightarrow |a+b|=|a|+|b|.$

II. Durum: $a\geq 0\wedge b\geq 0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} a\leq 0\wedge b\leq 0\Rightarrow a+b\leq 0\Rightarrow |a+b|=-(a+b)=-a-b\\ \\a\leq 0\wedge b\leq 0\Rightarrow (|a|=-a)(|b|=-b)\Rightarrow |a|+|b|=-a-b\end{array}\right\}\Rightarrow |a+b|=|a|+|b|.$