Kartezyen Çarpım-II

Question

$A,B,C$ ve $D$ herhangi dört küme olmak üzere

$$(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D)\Leftrightarrow (x,y)\in A\times B\wedge (x,y)\in C\times D$

$\hspace{5.4cm}\Leftrightarrow (x\in A\wedge y\in B) \wedge (x\in C\wedge y\in D)$

$\hspace{5.4cm}\Leftrightarrow x\in A\wedge y\in B \wedge x\in C\wedge y\in D$

$\hspace{5.4cm}\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in C)\wedge (y\in B \wedge y\in D)$

$\hspace{5.4cm}\Leftrightarrow x\in A\cap C\wedge y\in B\cap D$

$\hspace{5.4cm}\Leftrightarrow (x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D).$