Simetrik pozitif belirli

Question

$A \in R^{nxn} $ simetrik pozitif belirli bir matris olsun . 

O halde $A$ ve $A^2$ aynı sayıda farklı özdeğeri vardır kanıtlayınız.

Uğraşım : $A$ simetrik olduğundan diagonalleştirebiliriz. Ayrıca $A$ pozitif belirli dolayısıyla A pozitif bir matris. Bunlar çıkarımlarım peki sonrasında nasıl kanıta geçebilirim ?

Comments

Eğer $c$, $A$'nın bir özdeğeri ise $c^2$ de $A$'nın bir özdeğeridir. Bunu ve $A$'nın pozitif belirli olduğunu kullanarak $A$'nın özdeğer sayısının, $A^2$'nin özdeğer sayısından küçükeşit olduğunu gösterebilir misin?

---

Şimdi D diagonal matrisi olsun o halde $D=diag(a_1 , a_2 , . . .  a_n )$ olsun $D^2=diag(a_1^2 , ... a_n^2)$ olur doğru mu acaba bundan sonrasını nasıl bir şekilde sürdürebilirim

---

$D=diag(1,-1)$ örneğini anlamaya çalış. (Bu matris pozitif belirli değil)

---

$D^n=diag(a_1^n , ... a_n^n)$  olur..