Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

Question

$A\subseteq \mathbb{R}$ ve $\mid A\mid =\aleph_0$ olmak üzere sabit olmayan öyle bir $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu bulunuz ki $f$ fonksiyonu tanım kümesindeki her noktada hem yerel minimuma hem de yerel maksimuma sahip olsun.

Tanım: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f\in \mathbb{R}^A$ fonksiyon ve $x_0\in A$ olmak üzere

$$f, x_0\text{'da yerel minimuma sahip}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$\exists \epsilon >0 \,\ \forall x(x\in (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\cap A\rightarrow f(x_0)\leq f(x))$$

$$f, x_0\text{'da yerel maksimuma sahip}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$\exists \epsilon >0 \,\ \forall x(x\in (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\cap A\rightarrow f(x)\leq f(x_0))$$

Comments

$A = \mathbb{N}$ alsak, $f: A \to \mathbb{R}$'yi de $f(n) = n$ olarak tanimlarsak, $\epsilon = \frac{1}{4}$ secersek istenilen tanimi sagliyor. Ama istedigin bu tarz bir sey mi?

---

Evet bu kadar işte.

Answer 1

$A = \mathbb{N}$ alalim ve $f : A \to \mathbb{R}$ fonksiyonunu $f(n) = n$ olarak tanimlayalim. $\epsilon = \frac{1}{4}$ alirsak sorudaki tanimlar saglaniyor.

Bu soruyu bir - iki basamak yukariya cikartabiliriz. $A$'yi sayilamaz, hatta Lebesgue olcusu pozitif olacak sekilde alabiliriz.