EBOB'ları ve çarpımları bilinen iki sayının toplamının alabileceği en küçük değer

0 beğenilme 0 beğenilmeme
92 kez görüntülendi

Şuradaki soruya ufak bir hinlik katmak istedim. Benzer sorularda gözden kaçabileceğini düşündüğüm için. http://matkafasi.com/109074/ise-x-y-toplami-en-az-kactir?show=109095#c109095


$EBOB(x,y)=7$ ve $xy=784$ olsun. Bu durumda $x+y$'nin minimum değeri ne olur.  


Not: $x,y\geq 1$.

8, Ağustos, 8 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu
8, Ağustos, 8 Safak Ozden tarafından düzenlendi
EKOK mu, EBOB mu?

Ekoklari 7 iken eboblari nasıl 112 olabiliyor bir tuhaflık yok mu?

Hinlik yapalım derken yanlış yazmışım. Düzelttim, sağolun.

Yani hinlik tamam da $EBOB(a,b)=1$ ve $|ab|=16$ cikmasi var. Secenekleri cok azaltiyor. 

Evet. Seçenekleri düşünmek gerekiyor yalnızca. $a+b$ minimum olacak ve $ab=16$ bulduk, o halde $a=b=4$ demek yetmeyecek yani, linkini verdiğim sorunun aksine.

$a=b=4$ olamaz ki. $ab=1\cdot 16=(-1)(-16)$ olacak sekilde ayrilir sadece. 

Şimdi bu soruda örtük biçimde sayıların pozitif olduğunu varsayıyoruz. Tıpkı en küçük ortak bölenlerinin $-4$ olmaması gibi.

Biri tanim(-in icinde), digeri varsayim. Mesela benim varsayimim tam sayi olmasi... O da verilmemis zaten. 

Soru su sekilde baslamali (ya da farkli bir sekilde): $x$ ve $y$ tam sayilar olmak uzere ... 

Yav tamam tamam, düzeltiyorum.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ebob(x,y)'ye $(x,y)$ dedim. 

ekok(x,y)'ye de $ [x,y] $ dedim.

$x.y=(x,y).[x,y]$ olduğundan $[x,y]=112$ çıktı

Şimdi $7k$ ve $7c$ formatındaki sayıların çarpımı için $k+c$ toplamının alabileceği en küçük değeri bulmalıyım. 

$7k.7c=784$'ten $kc=16$ çıktı $k+c$ toplamının alabileceği minimum değer söz konusu olunca sayı doğrusunda birbirine en yakın çarpanların toplamı minimumu verir 

yani $k=4$ ve $c=4$ 

ancak bu sayıları seçersem ne $(x,y)=7$ olur ne de $[x,y]=112$ olur.

Hem ebob hem de ekoku dikkate alarak seçersek $(k,c)=(1,16)$ (sıralı ikili)  olur ve bu sayılar ekok ve ebob değerlendirilince doğru çıkıyor. Ve toplam $17$ (rastlantısal olarak bütün bu toplamların alabileceği en büyük değer çıkıyor) 

Bu soru zaten yorumlarda çözülmüş sayılır ama cevapsız durmasın dedim

12, Ağustos, 12 Deniz Tuna Yalçın (595 puan) tarafından  cevaplandı
...