EBOB'ları ve çarpımları bilinen iki sayının toplamının alabileceği en küçük değer

0 beğenilme 0 beğenilmeme
71 kez görüntülendi

Şuradaki soruya ufak bir hinlik katmak istedim. Benzer sorularda gözden kaçabileceğini düşündüğüm için. http://matkafasi.com/109074/ise-x-y-toplami-en-az-kactir?show=109095#c109095


$EBOB(x,y)=7$ ve $xy=784$ olsun. Bu durumda $x+y$'nin minimum değeri ne olur.  


Not: $x,y\geq 1$.

8, Ağustos, 8 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,384 puan) tarafından  soruldu
8, Ağustos, 8 Safak Ozden tarafından düzenlendi
EKOK mu, EBOB mu?

Ekoklari 7 iken eboblari nasıl 112 olabiliyor bir tuhaflık yok mu?

Hinlik yapalım derken yanlış yazmışım. Düzelttim, sağolun.

Yani hinlik tamam da $EBOB(a,b)=1$ ve $|ab|=16$ cikmasi var. Secenekleri cok azaltiyor. 

Evet. Seçenekleri düşünmek gerekiyor yalnızca. $a+b$ minimum olacak ve $ab=16$ bulduk, o halde $a=b=4$ demek yetmeyecek yani, linkini verdiğim sorunun aksine.

$a=b=4$ olamaz ki. $ab=1\cdot 16=(-1)(-16)$ olacak sekilde ayrilir sadece. 

Şimdi bu soruda örtük biçimde sayıların pozitif olduğunu varsayıyoruz. Tıpkı en küçük ortak bölenlerinin $-4$ olmaması gibi.

Biri tanim(-in icinde), digeri varsayim. Mesela benim varsayimim tam sayi olmasi... O da verilmemis zaten. 

Soru su sekilde baslamali (ya da farkli bir sekilde): $x$ ve $y$ tam sayilar olmak uzere ... 

Yav tamam tamam, düzeltiyorum.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ebob(x,y)'ye $(x,y)$ dedim. 

ekok(x,y)'ye de $ [x,y] $ dedim.

$x.y=(x,y).[x,y]$ olduğundan $[x,y]=112$ çıktı

Şimdi $7k$ ve $7c$ formatındaki sayıların çarpımı için $k+c$ toplamının alabileceği en küçük değeri bulmalıyım. 

$7k.7c=784$'ten $kc=16$ çıktı $k+c$ toplamının alabileceği minimum değer söz konusu olunca sayı doğrusunda birbirine en yakın çarpanların toplamı minimumu verir 

yani $k=4$ ve $c=4$ 

ancak bu sayıları seçersem ne $(x,y)=7$ olur ne de $[x,y]=112$ olur.

Hem ebob hem de ekoku dikkate alarak seçersek $(k,c)=(1,16)$ (sıralı ikili)  olur ve bu sayılar ekok ve ebob değerlendirilince doğru çıkıyor. Ve toplam $17$ (rastlantısal olarak bütün bu toplamların alabileceği en büyük değer çıkıyor) 

Bu soru zaten yorumlarda çözülmüş sayılır ama cevapsız durmasın dedim

12, Ağustos, 12 deniztunayalçın (381 puan) tarafından  cevaplandı
...