$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{...\sqrt 2}}}}=1$ eşitliğini sağlayan en küçük karekök sayısını nasıl buluruz acaba?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
164 kez görüntülendi

Hesap makinesi ile $\sqrt 2=1,4142136...$

$\sqrt{\sqrt 2}=1,1892071...$

$\sqrt{\sqrt{\sqrt 2}}=1,0905077...$

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt 2}}}=1,0442738...$ bu şekilde devamla,

$\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{...\sqrt 2}}}}}_{24\quad \text{adet kare kök}}=1$

Bendeki hesap makinesi 24. de sonucu $1$ olarak veriyor.

Benzer olarak,

$\sqrt[3]{2}=1,4422496...$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}=1,129831...$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}}=1,0415285...$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}}}=1,0415285...$

devamla

$\underbrace{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{...\sqrt[3]{2}}}}}}_{17\quad \text{tane küp kök}}=1$

$17$ işlemin sonucu $1$ çıkmaktadır.  Hesap makinesinin özelliği ne olursa olsun (tabi en azından herhangi bir kuvvetten kök almalı)  kök kuvveti büyüdükçe daha az sayıda kök alma işlemi  ile $1$'e ulaşılacaktır. Bu açıklamalardan sonra sormak istediğim şey şu:

$a,m,n$ birer pozitif doğal sayı olmak üzere,

1) $\underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{...\sqrt[n]{2}}}}_{m\quad \text{adet kök}}=1$ olmasını sağlayan en küçük $m$ kaçtır?

2)$ \underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{...\sqrt[n]{a}}}}_{m\quad \text{adet kök}}=1$ olmasını sağlayan en küçük m   kaçtır?

3)İkinci soru için $a^{1/n^{1/n^{1/n...^{1/n}}}}$ yazılışı mı doğru? Yoksa $(((a^{1/n)})^{1/n})^{1/n}...)^{1/n}$ yazılışı mı?

5, Ağustos, 2017 Serbest kategorisinde Mehmet Toktaş (18,827 puan) tarafından  soruldu
5, Ağustos, 2017 Mehmet Toktaş tarafından düzenlendi

3. soruda orta öğretim kitapları ikinci yazdığımı doğru kabul ediyor. O zaman birinci yazılışı köklü nasıl yazardık acaba? 

İkinci yazılışa göre $\underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{...\sqrt[n]{a}}}}_{m\quad \text{adet kök}}=a^{\frac{1}{n^m}}$  olarak yazıldığında sonucun $1$ olması ancak $\lim\limits_{n^m \to\infty}$ olması ile mümkündür. Bu durumda m değeri n 'e bağlıdır ama nasıl bulunur?

Hocam, üçüncü sorudaki gösterimlerden ikincisinin tek bir anlamı var, birincisinin ise tek bir anlamı yok, muğlak. İki tane kuvvet olduğunu düşünelim. İkinci $1/n$ kuvveti $a^{1/n}$'e mi etki ediyor, yoksa $1/n$'e mi etki ediyor belli değil. Yani birinci gösterim, derdini iyi anlatamayan bir cümle. İkinci gösterim ise derdini iyi anlatan bir cümle. 

Böyle bir eşitlik doğru olsa her iki tarafın (kök işareti sayısı kadar) uygun kuvvetini alarak $\sqrt2=1$ (ve $\sqrt[n]2=1$)  elde ederiz.

Pisagor(cular) $\sqrt2$ nin irrasyonel olduğunu 2500 yıl önce gösterdiler.

@Dogan hocam, hesap makinasal olarak $1$e esit olabiliyor. Hassasiyete gore o siniri bulmaya calismak bir problem/soru olabilir. 

Evet. Soruda da zaten belirtilmiș.

Hesap makinesinin ne kadar hane ile hesap yaptığına göre değişir.

Doğan Hocam ben de $\sqrt2$ nin irrasyonel bir sayı olduğunu biliyorum. Bildiğiniz gibi bilgisayarlardaki bazı programlar yardımı ile bir çok hesaplamalar yapmakta ve grafikler/çizimler yapmaktayız. İrrasyonel sayılar içeren bir ifadeye ilişkin elde edilen çıktıların/hesaplamaların ne kadar güvenilir ya da değil olduğunu bilmeliyiz diye düşünüyorum. Ama kullanılan programlarda buna ilişkin herhangi bir uyarı almıyoruz. En azından yuvarlamanın nasıl yapıldığı belirtilebilinir. 

Birde Şafak hocam $2^{2^{2{^2}}}$ şeklinde bir yazılımı muğlak buluyor.  Haksız da değil ama TÜBİTAK'ın bazı sorularında buna benzer ifadelerin olduğunu biliyorum.Acaba muğlaklığı netleştiren bir kabul var mı?

Bence bu konu sayısal analiz ile ilgili.Öncelikle kaç tane anlamlı basamağın doğru olmasını istediğimizi tespit etmeliyiz.Sonrasında mutlak hata: 0.5*10^(2-m) (m=anlamlı basamak sayısı) formülüne bağlı kalarak newton-raphson veya bumerank yöntemi ile belirli sayıda iterasonla çözülebilir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

image 


100 iterasyonla bile 1 sayisina ulasamadim. 50 basamak kesinlik kullanildi.. Buda demek oluyor ki 1 sayisina ancak sonsuzda ulasilir..

5, Ağustos, 2017 OkkesDulgerci (1,594 puan) tarafından  cevaplandı

yanılmıyorsam aynı şey x!!!!!...!!! = 1 (0<x<2) için de geçerli değil mi?

Evet dogru. 


image 

image 


image

...