Question

Eğer $T$ normal operatör ise $T$'nin karakteristik vektörlerinin farklı değerleri diktir

Answer 1

Burada $T^*$, $T$'nin Hermitsel eşleniğidir. Bâzen $*$ yerine $\dagger$ işâreti de kullanılır. $T$'nin Hermitsel eşleniği $(Tu,v)=(u,T^*v)$'yi sağlayan $T^*$ operatörüdür. 

Tanım: $V$ üzerinde iç çarpım tanımlanmış bir vektör uzayı olsun. $T^*T=TT^*$ ifâdesini sağlayan $T: V \rightarrow V$ lineer dönüşümüne normal denir. 

Lemma 1: $T: V \rightarrow V$ normal olsun. O halde her $v \in V$ için $|T^*v|=|Tv|$ gerçeklenir.

İsbât: $|T^*v|^2=(T^*v, T^*v)=(TT^*v, v)=(T^*Tv, v)=(Tv, Tv)=|Tv|^2$

Lemma 2: $T: V \rightarrow V$ normal olsun. Eğer $u$, $T$'nin $\lambda$ özdeğerli bir özvektörü ise o zaman, $u$ aynı zamanda $T^*$'ın $\bar \lambda$ özdeğerli özvektörüdür. Burada $\bar z$, $z$'nin kompleks eşleniğidir.

İsbât: $T$ normal olduğundan $T-\lambda I$ da normaldir. Şimdi bu operatöre Lemma 1 uygulanırsa, o zaman: $$|(T-\lambda I)^*v|=|(T-\lambda I)v|=|T^*v-\bar \lambda v|=0$$ alınır. Zîrâ, $u$ bir özvektördür. O hâlde, $$T^*v=\bar \lambda v$$  

Şimdi teoreme geçelim: 

Teorem: $T$ normal olsun. $\lambda$ ve $\mu$ ise onun sırasıyla $u$ ve $v$'ye karşılık gelen iki farklı özdeğeri olsun. O hâlde, $u\perp v$, yâni, $(u,v)=0$. 

İsbât: Hipoteze göre $$Tu=\lambda u$$ $$Tv=\mu v$$ geçerlidir. $\lambda(u,v)$'yi hesaplayalım: $$\lambda(u,v)=(\lambda u, v)=(Tu,v)=(u, T^*v)=(u,\bar \mu v)=\mu (u,v)$$  $\lambda\not=\mu$ olduğundan $(u,v)=0$ alınır.