$y=x$, $x=1$; $y-$ekseni etrafında döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi nedir?

Question

Benim cevabım: $\pi \int _{0}^{1} (y-1)^2dy$ ama doğru cevap: $\pi \int _{0}^{1}1^2-y^2 dy$.

$y=1$ olduğu için $(y-1)^2$ yazdım ama yanlışmış. Hatamın neden yanlış olduğunu açıklayabilir misiniz? Son sorum olarak integralin tepesindeki $1$, $y=1$ olduğu için değil mi, peki $x=1$ niçin verilmiş, bunu nerede kullandık?   

Comments

$y=x$ doğrusu ile $x=1$ doğrusunun kesim noktası $(1,1)$ dir. Sınırlı alan $y-$ ekseni etrafında döndürüldüğünden, integral sınırları $0$'dan $1$'e olmalıdır.  Oluşan cismin hacmi ise :$\pi\int_{0}^{1} 1^2.dy-\pi \int_{0}^{1}y^2dy=\pi\int_0^1(1-y^2)dy$ dir.

---

ici bos diskin alani ne olur?  $(R^2-r^2)\pi$. Ici bos bir disk cizip, ic yari capa $r$ dis yari capa da $R$ dersen alani elde edersin.

---

@Sercan $\pi \int _{a}^{b}f\left( x\right) ^{2}-g\left( x\right) ^{2}dx$ formülü kullandım. Burada $f(x)=1$, $g(x)=y$.Yani, istenilen hacim: $\pi \int _{0}^{1}1^{2}-y^{2} dy$. Peki, neden $f(x)=y$, g(x)=1$ değil?

---

@Sercan Peki soru $y=1$ ekseni etrafında dündürüldüğünde olsaydı, ne olurdu?

---

Resimli yorumundaki soru icin: ici bos diskin alanini bulmak istiyorsun. eee? Once yari capi buyuk olanin alanini hesaplarsin daha sonra kucuk olaninkini cikartirsin. Bu sekilde alani bulursun. Hangisi buyuk alani veriyorsa senin notasyonunda o $f$ olmali.

Diger soru icin: Yine dondurme icin ornek diskini ciz. Buradan rahatlikla bulursun. Denemeni yaz buraya, ki bu sekilde daha iyi verimlesmis oluruz.