Processing math: 86%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
715 kez görüntülendi

Z tamsayılar kümesi ve aZ+b:={az+b|zZ} olmak üzere B:={aZ+b|aZ{0},bZ} ailesinin Z tamsayılar kümesi üzerindeki bir topoloji için baz olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 715 kez görüntülendi
Bu sorudakinden çok az farklı (a>1 alarak) Z de bir topoloji kullanarak,
Asal sayıların sonsuz çoklukta olduğu gösterilebiliyor (Harry Fürstenberg).


Proofs from THE BOOK (M. Aigner - G. M. Zeigner) Kitabında görebilirsiniz.
Türkçesi: “Kitap’tan Deliller”, İstanbul Bilgi Üniversitesi Yayınları / Matematik ve Bilgisayar Dizisi 

İlginç. Daha önce duymamıştım.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

U(b,a):=b+aZ olsun. Her a0 için bU(b,a) olacağından bu kümeler tamsayıları örter. Öte yandan, x tamsayısı hem b+an hem de b+an formatındaysa her mZ için x+aam sayısı da hem b+an hem de b+an formatındadır. Bu da xU(b,a)U(b,a) ise U(x,aa)U(b,a)U(b,a) demektir. O halde verilen kümeler bir topolojinin bazını oluşturur.


Öte yandan kısmına açıklama: 7'nin 5'ten kalanı 2, 6'dan kalanı 1 o halde 7+30n biçimindeki her elemanın da  5'ten kalanı 2, 6'dan kalanı 1, zira eklediğimiz kısım 5'in de 6'nın da gözünde kıymetsiz.

(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben de bir cevap ekleyeyim.

B={aZ+b|aZ{0},bZ}P(Z) ailesinin Z tamsayılar kümesi üzerindeki bir topolojiye baz olduğunu gösterebilmemiz için b1) B=Z ve b2) (A,BB)(AB)(AB=A) önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

b1) (aZ{0})(bZ)aZ+bZ(aZ{0})(bZ)(aZ+b)=BZ(1)

 xZ(aZ{0})(bZ)(zZ)(x=az+b)xaZ+bBxB

Buradan da ZB(2) olur ve

(1),(2)B=Z elde edilir.

b2) A,BB olsun.

AB(aZ{0})(bZ)(A=aZ+b)BB(cZ{0})(dZ)(B=cZ+d)}AB=(aZ+b)(cZ+d)

I. Durum: 

obeb(a,c)| dbAB=(A:={ }B)(AB=A)

II. Durum: obeb(a,c) | dbAB=okek(a,c)Zmax

\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{B}\Rightarrow(\mathcal{A}:=\{A\cap B\}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A}).

-----------------------------------

Dolayısıyla b_1 ve b_2 koşulları sağlanır. O halde

\mathcal{B}=\{a\mathbb{Z}+b|a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\},b\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z}) ailesi \mathbb{Z} üzerindeki bir topoloji için bazdır.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,585 kullanıcı