Ben de bir cevap ekleyeyim.
B={aZ+b|a∈Z∖{0},b∈Z}⊆P(Z) ailesinin Z tamsayılar kümesi üzerindeki bir topolojiye baz olduğunu gösterebilmemiz için b1) ∪B=Z ve b2) (∀A,B∈B)(∃A⊆B)(A∩B=∪A) önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
b1) (a∈Z∖{0})(b∈Z)⇒aZ+b⊆Z⇒∪(a∈Z∖{0})(b∈Z)(aZ+b)=∪B⊆Z…(1)
x∈Z⇒(∃a∈Z∖{0})(∃b∈Z)(∃z∈Z)(x=az+b)⇒x∈aZ+b⊆∪B⇒x∈∪B
Buradan da Z⊆∪B…(2) olur ve
(1),(2)⇒∪B=Z elde edilir.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
b2) A,B∈B olsun.
A∈B⇒(∃a∈Z∖{0})(∃b∈Z)(A=aZ+b)B∈B⇒(∃c∈Z∖{0})(∃d∈Z)(B=cZ+d)}⇒A∩B=(aZ+b)∩(cZ+d)
I. Durum:
obeb(a,c)⧸| d−b⇒A∩B=∅⇒(A:={ }⊆B)(A∩B=∪A)
II. Durum: obeb(a,c) | d−b⇒A∩B=okek(a,c)Z−max
\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{B}\Rightarrow(\mathcal{A}:=\{A\cap B\}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A}).
-----------------------------------
Dolayısıyla b_1 ve b_2 koşulları sağlanır. O halde
\mathcal{B}=\{a\mathbb{Z}+b|a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\},b\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z}) ailesi \mathbb{Z} üzerindeki bir topoloji için bazdır.