$x=1$ deki değeri $y=1$ olan monoton kesin azalan ve limiti $0$ olan bir en yavaş dizi var mıdır ?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
66 kez görüntülendi

Yavaş demek şu demek;

$1/n^2$ , $1/n$'den daha hızlı $0$ a yakınsıyor.

Yani bu tarz öyle bir fonksiyon bulmalıyız ki tüm bu fonksiyonlardan daha yavaş $0$ a yakınsasın. Çürütmek için olmayana ergimeyi denedim,

öyle bir fonksiyon olsun o zaman  o fonksiyon ile 1 den küçük sabiti çarparım dedim ama $x=1,y=1$ şartı sağlanmıyor, $1/n^r$ iken $r$'nin sonsuza gitmesini düşündüm ama böyle bir fonksiyon ya $1/n^r$ cinsinden değilse dedim, dolayısıyla buraya sordum nasıl düşünmeli?

27, Mayıs, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu

En yavastan kastin ne pek belli degil. Bir tanim verirsen daha manali olur.

$a_n$ istedigin dizi olsun. $b_n := a_n/2$ alirsak ... diyeceksin ki $b_1=1$  de olsun. Bu durumda $b_1=1$ ve $n>1$ icin $b_n=a_n/2$ olarak alalim.

İstediğin özelliklere sahip fonksiyon dizisi $f_n(x)$ olsun:

$f_{n+1}(x)<f_n(x)$

$f_n(1)=1$

$f_n(x)\rightarrow 0$

Bu fonksiyon bu özelliktekilerin en yavaşı olsun. Yavaş derken, yeterince büyük $n$ için $f_n<g_n$ oluyorsa $g_n$'nin daha yavaş olduğunu anlıyorum.

Şimdi, örneğin, $x\rightarrow x^{1/2}$ dönüşümünü alalım. Bu durumda, Yukarıdaki özellikler sağlanacaktır (en önemlisi $x=1$'deki değer!). 

Eğer $f_n(x)$ azalansa, $f_n(\sqrt x)$ de öyledir ve tanımı itibariyle daha yavaştır.

$x\rightarrow x^{1/k}, \, k\in \mathbb N\setminus\{1\}$ dönüşümleri $k$ arttıkça daha yavaş diziler doğuracaktır. Dolayısıyla en yavaş dizi yoktur.

@Sercan;

Bir kaç deneme yaptım ama sonuç çok kolay çıktı dolayısıyla tanımın üstünü kapadım biraz. Yönteminiz böyle bir en ufak fonksiyon olmadığını söylüyor ama meraktan soruyorum, sürekli ve $f(x)=\mathbb R^+\subseteq\mathbb R\to\mathbb R$ olarak tanımlı olsa desem? Teşekkürler.

@Yasin Şale;

Fonksiyon ailesi tarafında anlatılmak istenen haricini anladım, Teşekkürler.

@Anil, bu sordugun soruyu kendin de bulabilmen lazim. (ya da denemeni yazsan daha iyi olur) $f(x)$ verilsin $g(x)=f(2x-1)$ secebilirsin.

Bir fonksiyonun diğerinden daha hızlı sıfıra yakınsadığı söylendiğinde yanılmıyorsam küçük $o$ işaretinden bahsediliyor genelde. Yani, $f$ fonksiyonu $g$ fonksiyonundan daha hızlı yakınsıyor demek $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$$ demek. 

...