ZAR SORUSU

Question

İki zar var elimizde farklı iki zar bu zarları ayrı ayrı havaya atıyoruz düşüyor gelen sayıları ayrı kağıda yazıyoruz tekrar atıyoruz tekrar yazıyoruz bu zarları sürekli atoyoruz yazıyoruz aklıma gelen soru şu bu zarlardan birincisinde gelen sayı dizisinin herhangi bir bölgesindeki belli uzunluktaki bir n basamaklı sayı diğer zardan oluşan  sayı dizisindeki belli bölgesindeki belli uzunluktaki n basamaklı sayı ile aynı olabilirmi mesela 1 tirilyonkez attık  200 basamakları  aynı gider diyebilir miyiz veya bu durumu genel kanıtlayabilir miyiz ? 

Answer 1

Evet olur. Maymun teoremi olarak da bilinen bir teoremin varyantı bu. Maymun teoremi, rastgele tuşlara basan bir maymunun yazdıkları arasında Hamlet'in orijinal yazılmış hali mutlaka bulunacaktır der. Senin sorunu şöyle ispatlarız. Birinci zarın listesinden $x_1,\cdots,x_n$ biçiminde $n$ uzunlukta bir parçayı alalım. Arka arkaya $n$ kere atılan ikinci zarın değerleri $y_1,\cdots,y_n$ olsun. Bu dizinin verilen diziye eşit olmaması için herhangi bir terimlerinin farklı olması yeterli. $n$ uzunlukta değerleri $1$ ile $6$ arasında değişen dizilerin sayısı $6^n$ ile sınırlıdır. O halde ikinci zarın $n$ sayıda atışıyla elde edilen değerler dizisinin ilk listede verilen değerler dizisine eşit olma olasılığı $\frac{1}{6^n}$'den büyüktür. O halde eşit olmama olasılığı $$\frac{6^n-1}{6^n}$$ sayısından küçüktür. Listeyi gözünden vuramamak için, birden $n$'ye kadar atışlarda listeyi gözünden vuramamamız VE ikiden $n+1$'e kadar atışlarda listeyin gözünden vuramamamız VE 3'ten $n+3$'e, $\cdots$ VE $k$'dan $k+n$'ye kadar atışlarda listeyin gözünden vuramamamız VE $\cdots$ gerek. Peki bunun olasılı nedir? Her bir adımın olasılığı neyse, o olasılıkların çarpımı. Her bir adımın olasılığı $$\frac{6^n-1}{6^n}$$ sayısından küçük. O halde ilk $n+k$ atışta hiçbir $n$'lik ardışık dizinin ilk zarın verdiği diziye eşit olmama olasılığı $$\Big(\frac{6^n-1}{6^n}\Big)^k$$ sayısından küçük. Hiçbir zaman gelmemesi için, her $k$ için $n+k$ seferde hiç gelmemiş olması gerek. Doğal olarak da bu olasılık sıfırdır.

Comments

Hmm teşekkürler hocam  güzelmiş kanıtınz

---

sitiv cobs bir röportajında aşağı yukarı şunu demişti:

"ipodlarda karışık çal özelliği ile çok şikayet alıyoruz, rastgele modda çalarken aynı albümden arka arkaya şarkı denk geliyor sürekli diye. oysa kullanıcılarımız rastgele bir seçimde, verilen rastgele uzunlukta her dizi mutlaka gelecektir. (bu bizim maymun teoremi) biz de bu yüzden rastgele modun algoritmasını rastgele olmaktan biraz uzaklaştırarark kullanıcıların rastgele olduğunu düşünmelerini sağlayacak hale getirdik."

---

İyi yapmışsnz.