Holomorf, grup inşaası

Question

      $G$ bir grup olsun. $G$'nin bir $a \in G$ elemanı tarafından bir transformasyonu $aGa^{-1}$ = $\{ aga^{-1}$ $|$ $g \in G$ $\}$ biçimindedir. Tabii ki eğer $G$'nin bir $H$ altgrubu, $G$'de normalse, $G$'nin $a$ tarafından transformasyonu altında invaryanttır. Yani $aHa^{-1} = H$ olur. Bu transformasyon altında invaryantlık aslında normal altgrubun tanımı olarak da verilebilir.

      Yani, $G$'nin her inner otomorfizması, $H \vartriangleleft G$ normal altgrubunun genelde inner olmayan bir otomorfizmasını verir. Buraya kadar ortada bir soru yok. Soru şu : Bunun tersi mümkün mü? Yani,

      $G$ rastgele bir grup olsun. $G$'yi, $G \vartriangleleft G'$ olacak şekilde öyle bir $G'$ grubuna gömebilir miyiz ki $G$'nin bütün otomorfizmaları aslında $G'$ grubunun bir transformasyonu( inner otomorfizması) olsun?

Answer 1

Kendin pişir kendin ye geleneğini devam ettireyim. 

$G$ bir grup olsun. Biliyoruz ki her grup Simetrik grup $S(G)$'nin bir altgrubuna izomorf. Bu $S(G)$ kısıtlanmamış, yani sonsuz da olabilir tabii ki. $G$'nin izomorf olduğu bu guruba $G'$ diyelim. Yani $G' < S(G)$ olur. Şimdi $G'$ grubunun normalleyicisini alalım. Yani $N_{S(G)} (G')$ = $\{  x \in S(G)$ $|$ $xG' = G'x$ $\}$ grubunu alalım. Tanım gereği bu grup, $G'$'ı, normal altgrup olarak içinde barındırır. Bu $N_{S(G)} (G')$ grubuna $G$'nin $holomorf$'u denir. Şimdi $G$'nin bütün otomorfizmalarının aslında holomorfunun inner otomorfizmasını olduğunu göstermemiz lazım. Bunu şimdilik alıştırma olarak bırakayım, uğraşıp da yapamayan olursa kanıtın kalanını yazarım. Yapan olursa da paylaşırsa güzel olur. Tabii bunu bir 'izomorfizma farkıyla' yaptığımıza da dikkat çekeyim.