Asal ideali midir?

Question

$\left(2\right)$ ideali $\mathbb{Z}\left[\sqrt {2}\right]$ 'nin asal ideali midir? Maksimal ideali midir?

Comments

Asal ideal ve maksimal ideal nedir, bunlari biliyor musun? Biliyorsan tanimlarini yazabilir misin?

---

$\left(2\right)$=$\{2\left(a+b\sqrt{2}\right)| (a+b\sqrt{2})\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]$} şeklinde yazıp tanımı uygulamaya çalıştım fakat cok ilerletemedim yardımcı olabilir misiniz?

---

Tabii, olmaya calisabilirim. Ama once mesela maksimal idealin tanimini yazabilir misin bana? Tanimi biliyor musun, ona bakalim once.

---

$\mathbb{K}$ ,$\mathbb{R}$ 'nin ideali olsun. $a,b\in \mathbb{R}$ için​ a.b$\in\mathbb{K}$ ise $a\in\mathbb{K}$ veya $b\in\mathbb{K}$ oluyorsa bu durumda $\mathbb{K}$ 'ya , $\mathbb{R}$ nin asal ideali denir

$\mathbb{S}$, $\mathbb{R}$ 'nin $\mathbb{R}$'den farklı bir ideali olsun.$\mathbb{S}$ ile $\mathbb{R}$ arasında $\mathbb{R}$'nin $\mathbb{S}$'den ve kendisinden farklı hiçbir ideali yoksa o zaman $\mathbb{S}$'ye $\mathbb{R}$'nin bir maksimal ideali denir. 

---

Evet. Dogru. Simdi kolay bir ornek ele alalim. Mesela $\mathbb{Z}$ icinde $4 \mathbb{Z}$ idealini ele alalim.

$2.2 = 4 \in 4\mathbb{Z}$ ama $2 \notin 4\mathbb{Z}$. Dolayisiyla $4 \mathbb{Z}$ ideali asal ideal degil.

Yine $4 = 2 . 2$ oldugu icin, $4 \in 2 \mathbb{Z}$. Bu yuzden $4 \mathbb{Z} \subsetneq 2 \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z}$. Dolayisiyla, $4 \mathbb{Z}$ ideali maksimal ideal degil.

Bu ornegi anlayabildin mi?

---

Evet bu ornegi anladım.

---

Guzel. Peki senin sordugun durumda buna benzer bir ornek bulabilir miyiz? Senin $(2)$ idealin, benim ornegimdeki $4 \mathbb{Z}$ idealimin oynadigi rolu oynayacak. Benim ornegimdeki $2$'nin rolunu oynayacak bir eleman bulabilir misin?

---

Evet senin verdiğin ​ornekte yerine koyabiliyorum kümeleri ama elemanları​ anlamlı şekilde yerlestirmekte sorunum var sanırım.

---

Tamam. Biraz daha yavas gidelim. Benim ornegimde ne yaptik? Halkamizin icerisinde $x^2 = 4$ olacak sekilde bir $x$ elemani bulduk. Bu da bize $(4)$ idealinin asal olmadigini soyledi. Sen, senin halkanin icerisinde $y^2 = 2$ olacak sekilde bir $y$ elemani bulabilir misin?

---

$\sqrt{2}$ bulabilirim ve $0+\sqrt{2}\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]$ dimi

---

Verilen halka birimli ve değişmeli olduğu icin bir teorem var, maksimal ideali karakterize eden. Bölüm halkasını belirleyebilirsiniz.

---

$(2)$=$\left\{a.2|a\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\right\}$

$R/I$=$\left\{x+y\sqrt{2}+I|x,y\in2\mathbb{Z}\right\}$= $\left\{y\sqrt{2}+I|y\in\mathbb{2Z}\right\}$=$\left\{0+I,\sqrt{2}+I\right\}$ olur.

Ve çarpmaya göre tablo yapıldığında da $R/I$ bir cisim olduğundan $I$;$R$'nin maksimal idealidir.

Ve $R$/$I$ bir Tamlık bölgesi olduğundan $I$;$R$'nin asal idealidir​. 

$I$=$(2)$ ve $R$=$\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]$ seçtim.

---

$x$ ve $y$ çiftse ideale ait. Değilse $x$ tek, sonra $y$ tek ve son olarak $x,y$ tek. Yani bolum halkası $4$ elemanlı olacak.

---

Bence benim yöntemim çok daha çabuktu.

$\sqrt{2} \sqrt{2} \in (2)$ ama $\sqrt{2} \notin (2)$. Dolayısıyla, $(2)$ asal değil.

---

Dolayısıyla maksimal değil. Evet ama Ozgur, bölüm halkasının elemanlarını yazabilmekte önemli. Başka başka sorular sorup cevap verebilmek icin(bencileyin);)

---

Ama Handan hanım​ ;$x,y\in\mathbb{2Z}$ 'nin elemanı seçtiğimiz için idealin elemanlarini tek elemanları​ alabilir miyiz acaba?

---

$x$ ve $y$ çiftse burada $0+I $ elemani gelir. $x$ ve $y$ 'yi tamsayilardan sectigimiz icin $x$ icin $2$, $y$ icin $2$ durum olup toplam $4$ eleman bulunur. Bunlar $0+I$, $1+I$, $\sqrt{2}+I$ ve $1+\sqrt{2}+I$. Burada $I=(2)$.

---

@Emre1729 Bir dahaki sefere soruyu yazdığın zaman, biraz da "Ben şunları denedim, şunları biliyorum" falan yazmaya çalış. Zaman kaybı gibi gözükse de aslında zaman kazanmış oluyorsun. Mesela şuradaki soruda, soru sahibi o ek açıklamayı yapmasaydı, belki de sorunun asıl kaynağı hiç anlaşılamayacaktı. Benim de sana ilk önce "tanımları biliyor musun" diye sormamın sebebi oydu. Hem senin, hem de soruyu cevaplamak isteyenin işini kolaylaştırıyor bu açıklamalar.

---

Teşekkürler​ tüm yorumlar için,biraz daha dikkat​ ederim haklısınız​...

Answer 1

Yorumlarda yazilanlari toplarsak:

$\sqrt{2} \sqrt{2} = 2 \in (2)$ ama $\sqrt{2} \notin (2)$. Dolayisiyla, $(2)$ asal ideal degil. Bu yuzden maksimal ideal de olamaz.