Olasılık sorusu;İki zar atılıp zarların toplamı kaydediliyor...

Question

İki zar atılıp zarların toplamı kaydediliyor ve bu tekrar tekrar yapılıyor. Toplamın dört olduğu bir atışın toplamın 7 olduğu bir atıştan önce gelme olasılığı nedir?

Comments

Bu tarz sorularda hep anlamadığım şey şu oldu,

Toplamın 4 olmasının 7 olmasından önce gelme olasılıgı soruldugu için ve 4 veya 7 gelene kadar atılan zarların toplamının farklı oldugu için önemsiz olmasını dikkate alırsak, yapılan ilk ve tek atışa mı bakacağız ki mantıklı geliyor, yani 3/36 .

Veya bunu bir deneme tahtası gibi düşünüp, bir sürü bir sürü hatta sonsuz atış yapıp olasılık toplamlarına bakacağız ve eğer gerçekten 2tane zar atılsaydı ilk defa ne zaman 4 veya ne zaman 7 gelecegini hesaplamak için bu deney verilerini kullanacagız ki bu daha eğlenceli olur :)

İstatistik bilimine yabancıyım ama bu dedıklerım cok mantıksız degıl gıbı sanırım galıba umarım.

---

Oyun toplam 4 ya da 7 gelince bitiyor. 4 gelir diyenin kazanma olasılığı nedir?

diye sorarsak?

---

Safak abı ben ve sen bu oyunu oynayalım ben 7 dıyorum sen 4 gelır dıyorsun, zarın birini Sercan abi öbürünü Özgür abi atıyor, bir kaç kere attıldıktan sonra zar toplamı ne 7 ne de 4 gelıyor ve tekra tekrar atıyorlar taa ki ya 7 ya da 4 gelene kadar ve 4 veya 7 gelince de durup toplamları söylüyorlar,

Bu durumun aşağıdakinden farkı yok bence:

9 tane top olan bir torba var ve bu torbada 6tane mavı 3tane beyaz var, ilk çekilen topun beyaz olma olasılıgı ne olur?

1/3, sanırım cevap bu olur.

---

Bu oyun nasıl biter?

1. atışta bitebilir. Bu, birinci atışta $4$ atmak demektir ki bunun olasılığı $3/36$.

2. atışta bitebilir. Bu, birinci atışta $4$ ya da $7$ gelmeyecek, ikinci atışta $4$ gelecek demek. Bunun olasılığı da $27/36 \times 3/36$ .

$\vdots$

---

Hayır: 

"3 tane mavi, 6 tane beyaz, 27 tane siyah bilye var. çektiğimiz bilyeleri geri torbaya atarak bilye çekiyoruz. beyaz bilye çekmeden önce mavi bilye çekme olasılığı nedir?" 

sorusuyla aynı, senin dediğinle aynı değil.

---

aynen, ilk akla gelen bunun çok uzun ve sonsuza kadar gittiğini söylemek ama aklıma takılan kısmı yukarda yazdıgımdı, hala daha mantıklı geliyor, bu tarz istatistik hesapları bana hep göreceli geliyor yanı nasıl bakıldıgına gore degısıyor gıbı 

---

nasıl bakarsan bak yanıt değişmiyor.

---

ekstra top sayısının sonucu değiştirmeyeceğini ispatlaman gerek.

---

Merhaba Şafak hocam. 

Her bir atış ve sonuçları birbirinden bağımsız olup, herhangi bir atışta $4$ gelmesi olasılığı $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$ ve  $7$ gelmesi olasılığı $\frac{6}{36}=\frac{2}{12}$ olduğundan bence önce $4$ gelir diyenin kazanma olasılığı $\frac{1}{12}$ dir.  Ama bunu örneğin $n.$ atışta kazanma olasılığı $[1-\{\frac{1}{12}+\frac{2}{12}\}]^{n-1}.\frac{1}{12}=(\frac{3}{4})^{n-1}.\frac{1}{12}$  olacaktır. 

Bu  gerçekten güzel soruya sizin vereceğiniz doğru cevabı merakla bekliyorum. 

Answer 1

Birinci asama: Birinci atista $4$ gelme olasiligi:$$\frac{3}{36}.$$Birinci atista $7$ ve $4$ gelmeme ve de ikinci atista $4$ gelme olasiligi:$$\frac{36-(3+6)}{36}\cdot\frac{3}{36}.$$$$\vdots$$ ilk $n-1$ atista $7$ ve $4$ gelmeme ve de $n$. atista $4$ gelme olasiligi:$$\left(\frac{36-(3+6)}{36}\right)^{n-1}\cdot\frac{3}{36}.$$ Ikinci asama: Istenen bunlarin toplami $$\frac{3}{36}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{27}{36}\right)^n=\frac{3}{36}\frac{1}{1-(27/36)}=\frac{3}{36}\frac{36}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$

______________________________________________
Yorumlarda sezgisel denilen kisimin ispati:  $a$ ve $b$ gelebilecek toplamlar olsun ve $p$ ve $q$ da sirasiyla gelme miktarlari olsun.

Birinci asama: Birinci atista $a$ gelme olasiligi:$$\frac{p}{36}.$$Birinci atista $b$ ve $a$ gelmeme ve de ikinci atista $a$ gelme olasiligi:$$\frac{36-(p+q)}{36}\cdot\frac{p}{36}.$$$$\vdots$$ ilk $n-1$ atista $b$ ve $a$ gelmeme ve de $n$. atista $a$ gelme olasiligi:$$\left(\frac{36-(p+q)}{36}\right)^{n-1}\cdot\frac{p}{36}.$$ Ikinci asama: Istenen bunlarin toplami $$\frac{p}{36}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{36-(p+q)}{36}\right)^n=\frac{p}{36}\frac{1}{1-((36-(p+q))/36)}=\frac{p}{36}\frac{36}{p+q}=\frac{p}{p+q}.$$ 

Comments

$3+6/36$, $4$ ya da $7$ gelme olasılığı, gelmeme olasılığı değil. $1-9/36$, $4$ ya da $7$ gelmeme olasılığı.

---

Duzenledim.          

---

Zaten Anıl'ın yorumundaki gibi düşününce, sezgisel olarak 1/3 çıkması gerektiği aşikar. Çünkü, diğer sayıların gelmesi alakasız, bunların göreceli sıklıkları yalnızca önemli olan. Böyle bakınca, 4'ün sıklığı 1/12, 7'nin sıklığı, 1/6. Biri diğerinin iki katı sık. O halde olasılığının iki katı fazla olması gerek ikisi ele alındığında. O halde 3x=1 olmalı vs vs. 

---

Yine duzenledim.

---

Eline saglik. Bazen gereksiz yere sonsuz kere toplama yapıyoruz değil mi? Tıpkı trenler arasında gidip gele sinegin aldığı yolu hesplarke ki gibi.

---

Aynen.        

---

Peki, cevabin ayni cikmasi kisa yolu dogru yapar mi? Belki de kisa yol yanlis sekilde cevabi veriyor. 

---

Hep aynı cevabı veriyorsa, yanlış şekilde vermiyordur, bunlar denktir. burada aslında kısa yol, koşullu olasılık hesabına çevirmek baştaki hesabı. 

---

Mesela: $2+2=5$ ve $0\cdot 5=0$ oldugundan $0\cdot(2+2)=0$ dedigimizdeki cozum yanlis sekilde vermiyordur mu?

---

Bir varsayım her zaman doğru sonucu bulmamızı sağlıyorsa yanlış olamaz gibime geliyor. Senin verdiğin örnekte her zaman sağlamıyor. yalnızca 0.(2+2)'de veriyor.