Birinci dereceden dogrusal diferansiyel denklemlerde sureklilik ve integrallenebilme

0 beğenilme 0 beğenilmeme
73 kez görüntülendi

Sunun dogru oldugunu savunuyorum:  $[a,b]$ uzerinde $p$ surekli ve $q$ (her noktada tanimli) da integrallenebilen fonksiyonlar olsun. $t_0 \in [a,b]$ olmak uzere  $$y^\prime+p(t)y=q(t), \;\;\;\; y(t_0)=a_0$$ saglaniyorsa cozum vardir ve biriciktir. 

$$\int_{t_0}^tp(s)ds$$ turevlenebilsin istiyorsak Hesabin Temel Teoremini kullanabilmek icin $p$ fonksiyonunun surekli olmasina ihtiyacimiz var. Fakat $q$ fonksiyonunu sadece $[a,b]$ uzerinde $e^{\int_{t_0}^tp(s)ds}q(t)$ integrallenebilir demek icin kullanacagiz.  Fakat $e^{\int_{t_0}^tp(s)ds}$ zaten surekli, yani integrallenebilir. $q$ da integrallenebilirse isimiz biter.

Biriciklik icin zaten $q$ isin icine girmiyor bile. 

Kitaplardan, sitelerden vs baktim hep $q$ surekli olsun diye kabul var. Baktiklarimda integrallenebilir olsaydi da diye dipnot da goremedim. Bu nedenle kacirdigim bir nokta olup olmadigini merak ediyorum?

Eger dogru isem, bu sartlari nasil daha da zayiflatabiliriz?

9, Şubat, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,839 puan) tarafından  soruldu

İlerleme yok mu acaba? İlginç soru... 

Olcum teorisine girmek gerekiyor anladigim kadariyla. 
...