Bir Denklik İlişkisi Örneği

Question

$X=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ kümesi üzerine, $\equiv$ denklik ilişkisini

$\left( x,y\right) \equiv \left( z,t\right) \Leftrightarrow x+y=z+t$

olarak tanımlayalım. $f$, $X$'den $Y$'ye giden bir fonkison, $Y=\mathbb{R}$ ve $f\left( x,y\right) =x+y$ olsun. Bir $(a,b)$ noktasının sınıfı,

  $\left\{ \left( x,y\right) :x+y=a+b\right\}$

kümesidir.

(Örnek A.Nesin'nin Sezgisel Kümeler Kuramı kitabından)

Bir $(a,b)$ noktasının sınıfını nasıl bulduğunu anlamadım. Elle tutulur bir somut örnek verir misiniz?

Comments

$x+y=a+b$ dogrusu. Gostergecleri $(0,c)$ secebiliriz. $x+y=c$ dogrulari da denklik siniflari olur. 

---

$f:X\to Y$ verildiğinde, $X$ üzerindeki denklik bağıntısı $x\equiv x'\Leftrightarrow f(x)=f(x')$ olarak tanımlanıyor.

Answer 1

Öncelikle bu bir denklik bağıntısı ise yansıma,simetri ve geçişme özelliği olarak adlandırdığımız özellikleri sağlıyor demektir. denklik bağıntısı olduğunu rahatça yapabiliriz. ben sorunun cevabına geçeyim.

• X = RxR  ve (x,y),(z,t) X kümesinin elamanları
• (x,y) ≡ (z,t) <=> x+y = z+t bizim bağıntımız. O halde  X kümesinin bir elemanını düşünelim. Bu elamanın bağıntılı olduğu başka elamanlar var mı? Örneğin: (2,3) elamanı ile bağıntılı eleman var mı? Tabiki var. x + y = 2+3 olacak şekilde tüm (x,y) noktaları (2,3) elemanı ile bağıntılıdır.
• Genel olarak bir elemanın denklik sınıfını o elemanla bağıntılı tüm elemanların kümesi şeklinde söyleyebiliriz
• Yani herhangi bir (a,b) elemanının denklik sınıfını [(a,b)] ile gösterirsek;
• [(a,b)] = { (x,y) : (x,y) ≡ (a,b) } = { (x,y) : x + y = a + b } dir.
• Bir somut örnek daha, [(5,-5)] = { (x,y) : x+y=5+(-5) } = { (t,-t) : t reel sayı }