Eşitsizliklerde türev almak.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
146 kez görüntülendi

Uykuluyum diye gözümden kaçıyor mu emin değilim, ancak belli sabit sınırları olan fonksiyonlar veya sınırları da degişken olan fonksıyon eşitsizliklerinde türev alınınca eşitsizlikler korunur mu?

$1)$

$a,b\in\mathbb R $  ve  $n\in\mathbb Z^+$  

ve

$f:\mathbb R\to \mathbb R$  olmak üzre;

$x\in\mathbb R$ için her zaman,

$a<f(x)<b$ ise ;

$a<\dfrac{d^n}{dx^n}(f(x))<b$  geçerli midir?Hangi $n$ ler için geçerlidir?


$2)$

$n,k,l\in\mathbb Z^+$   olmak üzre;

$x\in\mathbb R$ için her zaman,

$f,g,h:\mathbb R\to \mathbb R$

$g(x)\le f(x) \le h(x)$  ise;

$\dfrac{d^n}{dx^n}(g(x))\le \dfrac{d^k}{dx^k}(f(x)) \le \dfrac{d^l}{dx^l}(h(x))$ 

Bu eşitsizliğin sağlandığı $l,k,n$ değerleri var mıdır?


26, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,700 puan) tarafından  soruldu
26, Aralık, 2016 Anil tarafından düzenlendi
$g(x) \leq f(x)$  ne demek ? 


Ekleme yaptım daha açık oldu sanırım :)

1. soru için mesela $[0,5]$  de $f(x)=1-x$ olsun türevi aralık dışında kalıyor sanki 

Evet dediğin bir ters örnek oldu :) 1 gitti, ama 2.den umutluyum.

Bende uykulu olabilirim , bundan dolayı  daha açık yorumlar gelecektir :) 

şöyle bir olay vardı link bak istersen 

$g$ ve $h$'yi sabit fonksiyon al. Yazdığın şey doğru olsaydı, sınırlı her fonksiyonun türevi sıfırdır sonucuna ulaşırdik. Bu da sınırlı her fonksiyonun sabit olduğunu söylerdi. Ama bu tabii ki doğru değil.

Dogrudur, sabite gerek olmadan bile eğimi büyük olan ama sabit sayı gereği g ile h arasında kalan f fonksiyonu da ters örnek oluşturuyor, peki nasıl bir şart koyarak böyle bir eşitlik yapardık, sanırım faydasız gözüküyor. 

Yorumlar için @ra ve @Ozgur teşekkürler

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İki iddia da hiç ama hiç doğru değil. O kadar ki $f(x)\leq g(x)$ iken $f'(x)=g'(x)$ olabilir, $f'(x)<g'(x)$ olabilir, $f'(x)>g'(x)$ olabilir.

29, Aralık, 2016 Safak Ozden (3,403 puan) tarafından  cevaplandı
...