$SO(2)$ üzerinde vektör alanı

1 beğenilme 0 beğenilmeme
69 kez görüntülendi

$SO(2)$  özel ortogonal grubu üzerindeki bütün smooth(düzgün) vektör alanlarını bulunuz? Nasıl başlayacağımı bilemedim. Bu, düzlemdeki dönmelerin grubu ve abelyen bir grup. Sanırım manifold yapısı da var.

25, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde alpercay (1,303 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$\mathbb{R}\to SO(2)$, $\theta\mapsto \left(\begin{array}{cc}\cos\theta &\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)$

$SO(2)$ nin bir parametrizasyonudur ve bu parametrizasyona göre, $\frac d{d\theta}$ vektör alanı $SO(2)$ de, her yerde 0 dan farklı  bir vektör alanıdır. Teğet uzayı 1 boyutlu olduğu için $\{\frac d{d\theta}\mid_p\}$ $p$  noktadasındaki teğet uzayına bir baz olur. Öyleyse, herhangi bir vektör alanı her $p$ noktasında $f(p)\frac d{d\theta}\mid_p$ ($f$ diferansiyellenbilen bir fonksiyon) şeklinde  olmalıdır. Yani, $SO(2)$ nin her (diferansiyellebilen) teğet vektör alan, bir $f:SO(2)\to\mathbb{R}$ diferansiyellenebilen fonksiyonu için $f\frac d{d\theta}$ şeklindedir. Her sürekli teğet vektör alanı sürekli bir $f:SO(2)\to\mathbb{R}$  fonksiyonu için $f\frac d{d\theta}$ şeklindedir.

Manifold oluşu elbette önemli, aksi halde teğet vektörü (ve vektör alanı) kavramı anlamlı olmaz.

Burada, $SO(2)$ her yerde 0 dan farklı bir vektör alanının varlığı ve teğet uzaylarının 1 boyutlu oluşu önemlidir. Benzer şekilde $n$-boyutlu ve $n$ tane her noktada lineer bağımsız vektör alanlarına sahip manifoldlar için benzer bir cevap bulunabilir.

25, Aralık, 2016 DoganDonmez (3,711 puan) tarafından  cevaplandı
2, Ocak, 2017 alpercay tarafından seçilmiş

Teşekkür ederim Hocam. $SO(2)$ nin $S^1$ e izomorf olmasından dolayı teğet vektör alanından bahsedebiliyoruz sanırım.Pekiyi bununla ilgili olarak $C^\infty(TSO(m))$  nin elemanı olan bir non-vanishing $Z$  vektör alanını nasıl inşaa edebilirim? Teşekkürler.

...