$(a_n)$ ve $(b_n)$ sınırlı iki dizi olsun $\dfrac{a_n}{b_n}$ dizisi sınırlı olmayabilir bunu kanıtlayın

Question

Örnek  $a_n=\dfrac{n}{n+1}$ sınırlı dizi  $b_n=\dfrac{n}{n^2+1}$ sınırlı dizi seciyom. $\dfrac{a_n}{b_n}$ dizisi sinirsiz oluyo ama hoca kabul etmedi

Comments

Payı sabit tutup paydayı sıfıra götürürsen ne olur?

---

abıler ablalarım ben 12sınıfım buradakı an bnler nedemek ?

diziler gördüm ama buradakını anlamadım sınırlı nedemek lımıtlenme ne demek?

---

Lisans kategorisi yaziyo zaten.orta ogretim yazmiyo ki seni ilgilendirmiyor.

---

@s.gulyaman herhangi bir kafa karışıklığı olmaması için hatırlatayım: sonsuz dizilerden bahsediyoruz. Bir dizinin sınırlı olması demek şu demek: Belirli bir sınırın üzerine çıkamıyorsun, belirli bir sınırın altına inemiyorsun. Örneğin sabit (bütün elemanları aynı olan) $1$ dizisini alırsan bu sınırlı bir dizidir. Aynı şekilde $1/n$ dizisini alırsan, bu da sınırlı bir dizidir. Çünkü $1/n$ dizisi üstten $1$ ile sınırlıdır, alttan da $0$ ile sınırlıdır. Ama mesela $n$ dizisi sınırlı değildir çünkü bu dizi gittikçe büyür, sınırlayamazsın. (Anlaşılır mı?)

Şimdi iki tane dizi olduğunu düşün elinde: $a_n, b_n$ dizileri. Eğer $b_n$ hiçbir zaman sıfır olmuyorsa $\frac{a_n}{b_n}$ bölüm dizisinden bahsedebiliriz.

Aliye'nin sorduğu soru şu: Elimizde iki tane sınırlı dizi olsun. Bunlarla oluşturduğun bölüm dizisi sınırlı olmak zorunda mı? (Yukarıda verdiğim örnekleri düşün)

Diziler ile ilgili daha fazla öğrenmek istersen matematik köyünün websitesini bul, orada e-kutuphane var. Oraya git. Oradaki kitaplar arasından Ali Nesin'in Analiz 1 kitabına bak.

@Aliye senin iki örneğin de yakınsak dizi ve dolayısıyla sınırlılar. Bölümlerinin limiti ise sonsuza gidiyor. Dolayısıyla sınırlı değil. Sen haklısın. Düzgün bir şekilde sebepleriyle yazarsan, hocan da anlayacaktır; gözünden kaçmıştır. 

---

Bir şeyin genel olarak da doğru olduğunu ispatlamak için genel semboller üzerinden ispat yapılır ve gerekli şartlarda bu ispatın geçerli olduğu belirtilir, ancak bu durumdaki gibi eğer her zaman sağlanmadığını göstermek gerekiyor ise bir tanecik ters örnek bile yeterli olur.


@Ozgür'ün dediği gibi yakınsak diziler sınırlıdır. Verdiğin 2 dizi de sınırlıdır ancak bölümleri sonsuzdur ve bu ters örnek sorulan sorunun cevabıdır.

---

Lisans kategorisi demek, lisans öğrencilerini ilgilendirir demek değil. O sınıflandırma, sorunun düzeyiyle ilgili, kimleri ilgilendirdiğiyle ilgili değil.