Matrisin ozdegeri en fazla kac olabilir?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
86 kez görüntülendi

$A$  matrisi $0$ veya $1$' lerden olusan $n\times n$ matris olsun. Tekil olmayan $A$  matrisinin ozdegeri en fazla kac olabilir?

20, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Okkes Dulgerci (1,409 puan) tarafından  soruldu
29, Aralık, 2016 Okkes Dulgerci tarafından düzenlendi
En fazla kaç olabilir derken sayı değerinden bahsediyorsun değil mi ?

Lütfen denemelerimizi de yazalım, soru kalitelerini arttırmada yardımcı olalım.

$\lambda_{max} $       $n$'ye bagli olabilir..

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\overrightarrow{u}=(u_1,\cdots,u_n)$ bir özvektör olsun. $A\overrightarrow{u}=\lambda\overrightarrow{u}$ olsun. $u_k$, $\overrightarrow{u}$ vektörünün koordinatlarının en büyüğü olsun (Tabii ki birden fazla maksimum olabilir, biz bir tanesiyle ilgilenelim). Açık ki, $\overrightarrow{u}$'nun görüntüsünün $k$'inci koordinatı $$|\lambda u_k|=|a_{k1}u_1+a_{k2}u_2+\cdots+a_{kn}u_n|\leq |a_{k1}u_1|+|a_{k2}u_2|+\cdots+|a_{kn}u_n|\leq n\cdot |u_k|$$

eşitsizliğini sağlar. Bu da $|\lambda|\leq n$ olduğunu gösterir. $\lambda=n$ şartını sağlayan bir matrisin varlığını göstermek de soruyu sorana kalsın.

29, Aralık, 2016 Safak Ozden (3,403 puan) tarafından  cevaplandı

Tekil olmayan matris sartini gozardi etmissiniz..

Butun elemanlari 1 olan $n\times n$ matrisin ozdegerleri $\{n,0,0,...,0\}$  dir, ama matris tekildir. Matris tekildir ancak ve ancak 0 ozdegerse..


Göz ardı etmedim. Sizin verdiğiniz örnekten başka matrisler de var.

$2 \times 2$ boyutlu, sadece sıfır ve birlerden oluşan ve tekil olmayan altı tane matris var. $2$, hiçbirisinin özdegeri değil.

Zaten benim buldugum deger tekil olmayan matris icin $\lambda_{max}<n$. Matrisin boyutuna  yani n bagli bir formul ariyorum $\lambda_{max}$ icin.

İlk satırı $1,1$ ikinci satırı $1,0$ olan matirisin özvektörlerinden bir tanesi $(1,0)$ ve görüntüsü $(2,0)$.

Goruntu derken?

Görüntüsünü yanlış hesapladım sanırım. Yine de $n$ olamaz mı emin değilim. Bi ara bi bakarım.

Sanırım en fazla $1$ olabilir. Vektör uzayı üzerinde istediğimiz normu alabiliriz, o yüzden sup normu alalım. $A$'nın operatör normunun $1$'den küçük eşit olduğu aşikar. Bu da özdeğerin normunun $1$'den küçük eşit olacağı anlamına gelir.

Senin yukarıda verdiğin örneğin pozitif özdegeri altın oran. $1$'den büyük.

Ya ben şarap içiyorum bir süredir. Bunlar hep şarap, pardon.

Ben de epeydir sarap iciyorum ama ... Biraz azalt abi sarabi, eger boyle icecekseniz hic icmeyin, bizim de adimizi karaliyorsunuz :)

Zaten operator normu da $1$ falan olmuyor. İyice atmışım.

...