Question

$arccos(1/k)=arccot(1/\sqrt{k})$

olduğuna göre $k+1/k$ ifadesinin değerini bulunuz.

Ben önce iki adet dik üçgen çizdim birincisinde uzunluklar x'in komşu açısı $1.a$, gördüğü açı $\sqrt{k^2-1}.a$ ve hipotenüs $k.a$ oluyordu.

İkincisinde de aynı şekilde $x$in komşusu $1.b$,karşısı $\sqrt{k}.b$,hipotenüs $\sqrt{k+1}.b$ oluyordu.

Sonra iki üçgende bulduğum cos oranlarını eşitledim fakat $k+1=k^2$ geldi. Buradan da hiçbir $k$ sayısı bulamadım.

Comments

$ax^2+bx+c=0$ ise

$b^2-4ac=$ Diskriminat

ve soru içinde kök içinde k ifadesi olduğu için k'nın 0 dan küçük olmasının İmkansız olduğunu unutma.

Answer 1

$\arccos(1/k)=\alpha\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{1}{k}$ olur. Aynı şekilde $\ arccot(1/\sqrt{k})=\alpha\Rightarrow \cot\alpha=\dfrac{1}{k}$ olur. $m(\widehat{ABC})=90^\circ$ ve $m(\widehat{ACB})=\alpha$ olan bir $ABC$ üçgeni çizelim. $|AC|=k$ iken $|BC|=1$ olur ve $|AB|=\sqrt{k^2-1}$ olur. $$\cot\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{k^2-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{k}}$$ elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde $$k^2-k-1=0\Rightarrow k=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$ olduğu görülür. Biz kenar olarak $k$ aldığımız için pozitif olan kök ile ilgileneceğiz, yani $k=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (İlginç bilgi: $\cos$'u altın oran olan açı $36^\circ$'dir.) Daha sonra istenen ifadede $k$ yerine konduğunda cevabın $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ olduğu görülür...