Topolojide Altbaz

2 beğenilme 0 beğenilmeme
128 kez görüntülendi

$X\not=\emptyset$  bir küme olmak üzere $\mathcal{P}(X)$ kuvvet kümesinin her $\mathcal{A}$ alt ailesi için

$X$ üzerinde $\mathcal{A}$ ailesinin altbaz olduğu bir ve yalnız bir $\tau$ topolojisi vardır. Gösteriniz.

 


$\text{NOTLAR:}$

                                    

  • $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X)$ olmak üzere

$\text{ $\mathcal{A}, \tau$ için altbaz:$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 1. \,\ \mathcal{A}\subset\tau  \\ 2. \,\  \mathcal{B:=}\{\cap\mathcal{A^*}|(\mathcal{A^*}\subset\mathcal{A})(|\mathcal{A^*}|<\aleph_0)\}  \text{ aileisi $\tau$ için baz. } \end{array}\right.$ }$

 

  • $X\not=\emptyset$  ve $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X)$ olmak üzere 
  • $\mathcal{B}$ ailesinin $X$ üzerindeki bir $\tau$ topolojisine baz olabilmesi için gvyk
     $i)  \cup \mathcal{B}=X$
    $ii)$ $A,B\in\mathcal{B}\Rightarrow(\exists\mathcal{A}\subset\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$  
11, Aralık, 2016 Lisans Matematik kategorisinde mervekendince (509 puan) tarafından  soruldu
5, Ocak, 2017 mervekendince tarafından düzenlendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
$X\neq \emptyset$ herhangi bir küme ve $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X)$ olmak üzere
$$\mathcal{B:=\left\{\bigcap\mathcal{A^*}\Big{|}(\mathcal{A^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A^*}|<\aleph_0)}\right\}}$$
ailesinin $X$ üzerindeki bir $\tau$ topolojisi için baz olduğunu gösterirsek ispat biter.

$\left.\begin{array}{rrr} \textbf{1)}(\{\}\subset\mathcal{A})(|\{\}|=0<\aleph_0)\Rightarrow \bigcap\{\}\in\mathcal{B} \\  \bigcap\{\}=X  \\  \end{array}\right\} \Rightarrow X\in\mathcal{B}\Rightarrow \bigcup\mathcal{B}=X.$

$\textbf{2})$ $A,B\in\mathcal{B} \,\ $ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A_1}^*\subset\mathcal{A})(|\mathcal{A_1}^*|<\aleph_0)(A=\cap\mathcal{A_1}^*) \\ \mbox{} \\ B\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists\mathcal{A_2}^*\subset\mathcal{A})(|\mathcal{A_2}^*|<\aleph_0)(B=\cap\mathcal{A_2}^*) \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\mathcal{A_1}^*\cup\mathcal{A_2}^*\subset\mathcal{A})(|\mathcal{A_1}^*\cup\mathcal{A_2}^*|<\aleph_0)\left(A\cap B=\left(\bigcap\mathcal{A_1}^*\right)\cap\left(\bigcap\mathcal{A_2}^*\right)=\cap\left(\mathcal{A_1}^*\cup\mathcal{A_2}^*\right)\right)$

$\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{B}$

$\Rightarrow A\cap B=\cup\{A\cap B\}, \,\  \{A\cap B\}\subseteq \mathcal{B}.$

O halde $\mathcal{B}$ ailesi, $X$ üzerinde bir $\tau$ topolojisi için bazdır. 
 
$\therefore$ $\mathcal{A}$ ailesi, $X$ üzerindeki bir $\tau$ topolojisi için altbazdır.

Tekliği ise aşağıdaki teoremin sonucudur.
 
Teorem: $(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X)$ olmak üzere
$$(\mathcal{A},  \tau_1 \text{ için altbaz}) (\mathcal{A},  \tau_2 \text{ için altbaz}) \Rightarrow \tau_1 = \tau_2.$$
11, Aralık, 2016 mervekendince (509 puan) tarafından  cevaplandı
13, Aralık, 2016 mervekendince tarafından seçilmiş
Küme Ailelerinin Birleşimi ve Kesişimi-1

Burada da belirtildiği üzere kullandığın eşitlik yanlış olduğundan dolayı ispat zincirinde hata var.

@murad.ozkoc Haklısınız hocam sonuca ulaşmak için fazla acele etmişim. Aşamaları tekrar gözden geçireceğim.

Buradaki soruyu incelemeni tavsiye ederim. İspata doğru başlamışsın ama bir noktadan itibaren yanlış yapmışsın. O noktadaki yanlışı düzeltirsen ispat doğru olacak.

Hocam orada arakesitten bahsedilmiş ispat için küme ailelerinin birleşimleri lazım. Bu ispata yorumlayamadım.

$$A\cap B=\left(\bigcap\mathcal{A}_1\right)\cap \left(\bigcap\mathcal{A}_2\right)=\bigcap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)$$ ise $$A\cap B\in\mathcal{B}$$ olur. Buradan sonrası kolay artık.

Yardımlarınız için teşekkürler :)
Altbaz ve Topoloji
...