Sanırım şu ispat da yapılabilir. Matematikselliği tartışılır ama...
Öncelikle elimizdeki seriyi
1−12−13+14+∞∑n=1(14n+4+14n+1−14n+2−14n+3)
Olarak yazalım. Bu serinin yakınsak olduğunu serinin
limt→∞∫t1(14u+4+14u+1−14u+2−14u+3)du
integralinin altında olduğunu düşünerek, integralin yakınsaklığından bulabiliriz. İntegralin değeri
limt→∞14ln|(4u+4)(4u+1)(4u+2)(4u+3)||t1=14(ln23−ln1)=14ln23
değerine yakınsadığından altındaki seri de yakınsak olacaktır. Böylece serinin yakınsaklığı ispatlanır!?
Not: Sanırım Doğan hocanın "tehlikeli" diyerek bizi uyarmasına karşın tehlikeli olan her şeyi yaptığım için Doğan hoca bana epey kızacak :(